Реши задание на изображении

Условия заданий на изображении сейчас не отображаются. Пришли, пожалуйста, фото ещё раз — решу №5–8.

Это продолжение предыдущего задания: на изображении № 5.

\[ \overline{ab}+\overline{bc}+\overline{cd}+\overline{da} =(10a+b)+(10b+c)+(10c+d)+(10d+a) =11(a+b+c+d). \]

Число \(N\) начинается с цифр \(27\), значит:

\[ N\in\{270,271,\ldots,279\}. \]

Так как \(N\) делится на \(11\), единственный подходящий вариант:

\[ N=275. \]

Он действительно возможен, например, при \(a=9,\ b=8,\ c=7,\ d=1\):

\[ 98+87+71+19=275. \]

Ответ: \(\boxed{275}\).

Это продолжение текущей учебной цели: решаем задание № 6.

Обозначим восемь корней через \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_8\).

Произведения корней уравнений равны:

\[ \frac ca,\quad \frac db,\quad \frac ac,\quad \frac bd. \]

Поэтому произведение всех восьми корней:

\[ \frac ca\cdot\frac db\cdot\frac ac\cdot\frac bd=1. \]

Произведение шести наибольших корней равно \(3\), значит:

\[ x_1x_2\cdot 3=1, \qquad x_1x_2=\frac13. \]

Также:

\[ x_1+x_2=\frac76. \]

Следовательно, \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения

\[ x^2-\frac76x+\frac13=0. \]

\[ D=\left(\frac76\right)^2-\frac43=\frac1{36}, \]

\[ x=\frac{\frac76\pm\frac16}{2}. \]

Получаем:

\[ x_1=\frac12,\qquad x_2=\frac23. \]

Ответ: \(\boxed{\frac12}\).

Это продолжение текущей учебной цели — задание №7 из той же серии.

Обозначим середину \(AB\) через \(M\). Четыре полученных отрезка имеют длины:

\[ \frac{AC}{2},\quad \frac{AD}{2},\quad \frac{BC}{2},\quad \frac{BD}{2}. \]

По условию:

\[ \frac{AC\cdot AD\cdot BC\cdot BD}{16}=16, \]

откуда

\[ AC\cdot AD\cdot BC\cdot BD=256. \]

Площадь треугольников:

\[ S_{CAD}=\frac12 AC\cdot AD\cdot\sin\angle CAD, \]

\[ S_{CBD}=\frac12 BC\cdot BD\cdot\sin\angle CBD. \]

Тогда

\[ S_{CAD}S_{CBD} =\frac14\cdot256\cdot \sin\angle CAD\sin\angle CBD =64\sin\angle CAD\sin\angle CBD. \]

По условию произведение площадей равно \(64\), значит

\[ \sin\angle CAD\sin\angle CBD=1. \]

Обе величины не превосходят \(1\), поэтому

\[ \angle CAD=\angle CBD=90^\circ. \]

Следовательно, в прямоугольных треугольниках \(CAD\) и \(CBD\):

\[ AC^2+AD^2=CD^2, \]

\[ BC^2+BD^2=CD^2. \]

Складываем:

\[ AC^2+AD^2+BC^2+BD^2=2CD^2. \]

По условию левая часть равна \(136\):

\[ 2CD^2=136, \qquad CD^2=68. \]

\[ \boxed{68} \]