Ответ

\[ 1+\frac12+\frac14+\dots+\frac1{2^{67}} =2-\frac1{2^{67}}. \]

Тогда система имеет вид: \[ \begin{cases} y=\left(2-\frac1{2^{67}}\right)x+\frac1{2^{66}},\\ y=x^2. \end{cases} \]

Подставим \(y=x^2\): \[ x^2-\left(2-\frac1{2^{67}}\right)x-\frac1{2^{66}}=0. \]

Разложим на множители: \[ (x-2)\left(x+\frac1{2^{67}}\right)=0. \]

Отсюда: \[ x_1=2,\qquad x_2=-2^{-67}. \]

Найдём \(y\): \[ y_1=2^2=4,\qquad y_2=\left(-2^{-67}\right)^2=2^{-134}. \]

Решения: \[ (2,4)=\left(2^1,2^2\right), \qquad \left(-2^{-67},2^{-134}\right). \]

Тогда \[ \sum p'_ka_k=1+67=68, \] \[ \sum p''_kb_k=2-134=-132. \]

Искомое значение: \[ 68-(-132)=\boxed{200}. \]