Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(\boxed{x\in(-1;4)}\)

2. а) \(\boxed{x=0;\ 9}\)
   б) \(\boxed{x=-2;\ 6}\)

3. а) \(\boxed{x\in(0{,}3;2)\cup(2{,}1;+\infty)}\)
   б) \(\boxed{x\in\{-2\}\cup[3;4]}\)

4. \(\boxed{x=6}\)

5. \(\boxed{\dfrac{x+y}{x}}\), при \(x\ne0,\ y\ne0,\ x+y\ne0\).

---

Решение

1. Неравенство

\[ -x^2+3x+4>0 \]

Разложим на множители:

\[ -x^2+3x+4=-(x^2-3x-4)=-(x-4)(x+1). \]

Тогда

\[ -(x-4)(x+1)>0 \iff (x-4)(x+1)<0. \]

Произведение отрицательно между корнями \(-1\) и \(4\):

\[ \boxed{x\in(-1;4)}. \]

---

2а. Уравнение

\[ 9x-x^2=0 \]

Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(9-x)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x=0 \quad\text{или}\quad 9-x=0. \]

\[ \boxed{x=0;\ 9}. \]

---

2б. Уравнение

\[ \frac{x}{2x+6}=\frac{2}{x} \]

ОДЗ:

\[ 2x+6\ne0,\qquad x\ne0, \]

то есть

\[ x\ne-3,\qquad x\ne0. \]

Умножим обе части на \(x(2x+6)\):

\[ x^2=2(2x+6). \]

\[ x^2-4x-12=0, \]

\[ (x-6)(x+2)=0. \]

Отсюда

\[ x=6\quad\text{или}\quad x=-2. \]

Оба значения входят в ОДЗ:

\[ \boxed{x=-2;\ 6}. \]

Проверка, например, при \(x=6\):

\[ \frac{6}{18}=\frac13,\qquad \frac26=\frac13. \]

---

3а. Метод интервалов

\[ (2x-4{,}2)(6x-1{,}8)(4x-8)>0. \]

Найдём нули множителей:

\[ 2x-4{,}2=0\Rightarrow x=2{,}1, \]

\[ 6x-1{,}8=0\Rightarrow x=0{,}3, \]

\[ 4x-8=0\Rightarrow x=2. \]

Расположим точки по возрастанию:

\[ 0{,}3<2<2{,}1. \]

Знаки произведения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;0{,}3)&(0{,}3;2)&(2;2{,}1)&(2{,}1;+\infty)\\ \hline P(x)&-&+&-&+ \end{array} \]

Нужно \(P(x)>0\), поэтому нули не включаются:

\[ \boxed{x\in(0{,}3;2)\cup(2{,}1;+\infty)}. \]

---

3б. Метод интервалов

\[ (x+2)^2(x-3)(4-x)\ge0. \]

Нули:

\[ x=-2,\qquad x=3,\qquad x=4. \]

Корень \(x=-2\) имеет чётную кратность \(2\), поэтому знак при переходе через него не меняется.

Знаки:

• на \((-\infty;-2)\) произведение отрицательно;
• при \(x=-2\) оно равно нулю;
• на \((-2;3)\) отрицательно;
• на \([3;4]\) неотрицательно;
• на \((4;+\infty)\) отрицательно.

Так как требуется \(\ge0\), включаем точки, где выражение равно нулю:

\[ \boxed{x\in\{-2\}\cup[3;4]}. \]

---

4. Дробно-рациональное уравнение

\[ \frac{x^2-11x+30}{x^2-25}=0. \]

Сначала найдём ОДЗ:

\[ x^2-25\ne0 \Rightarrow x\ne-5,\quad x\ne5. \]

Разложим числитель и знаменатель:

\[ x^2-11x+30=(x-5)(x-6), \]

\[ x^2-25=(x-5)(x+5). \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ (x-5)(x-6)=0. \]

Кандидаты:

\[ x=5,\quad x=6. \]

Значение \(x=5\) запрещено ОДЗ, поэтому

\[ \boxed{x=6}. \]

Проверка:

\[ \frac{6^2-11\cdot6+30}{6^2-25} =\frac{36-66+30}{11} =0. \]

---

5. Упростить выражение

\[ \left(\frac{9y}{x}-\frac{9y}{x+y}\right) \left(\frac{x+y}{3y}\right)^2. \]

Сначала упростим разность:

\[ \frac{9y}{x}-\frac{9y}{x+y} = 9y\left(\frac1x-\frac1{x+y}\right). \]

\[ =9y\cdot\frac{x+y-x}{x(x+y)} =\frac{9y^2}{x(x+y)}. \]

Возведём вторую скобку в квадрат:

\[ \left(\frac{x+y}{3y}\right)^2 =\frac{(x+y)^2}{9y^2}. \]

Перемножим:

\[ \frac{9y^2}{x(x+y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{9y^2}. \]

Сокращаем \(9y^2\) и один множитель \(x+y\):

\[ \boxed{\frac{x+y}{x}}. \]

Ограничения исходного выражения:

\[ \boxed{x\ne0,\quad y\ne0,\quad x+y\ne0}. \]