объясни

Если ты имеешь в виду прямую \(MN\), то она лежит в плоскости \((MNK)\), а не параллельна ей.

Параллельна плоскости \((MNK)\) прямая \(DB\), потому что
\[ DB\parallel MN, \] а \(DB\) не лежит в плоскости \((MNK)\).

Также: \[ DE\parallel MK,\qquad EB\parallel KN. \]

То есть \(MN\), \(MK\) и \(KN\) — стороны треугольника в плоскости \((MNK)\), а не прямые, параллельные этой плоскости.

Плоскость обозначают тремя буквами, потому что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

В твоём рисунке записано:

\[ (B_1C_1B) \]

Это плоскость, проходящая через точки \(B_1\), \(C_1\) и \(B\). Они являются тремя вершинами задней грани куба. Четвёртая вершина этой грани — \(C\), поэтому квадрат этой грани имеет вид:

\[ BB_1C_1C. \]

Но сама плоскость не является квадратом: она бесконечна, а квадрат — только её часть. Поэтому ту же плоскость можно обозначить по-разному:

\[ (B_1C_1B)=(B_1C_1C)=(BCC_1). \]

Главное — выбрать любые три не лежащие на одной прямой точки этой плоскости.

У точек не бывает «параллельности». Нужно проверить, что три точки не лежат на одной прямой.

Для точек \(B_1,\ C_1,\ B\):

• \(B_1C_1\) — одно ребро квадрата;
• \(B_1B\) — другое ребро квадрата;
• эти рёбра пересекаются в точке \(B_1\) и образуют угол, а не одну прямую.

Значит, точки \(B_1,\ C_1,\ B\) не коллинеарны — не лежат на одной прямой. Поэтому через них можно провести единственную плоскость:

\[ (B_1C_1B). \]

Если бы три точки лежали на одной прямой, по ним нельзя было бы однозначно определить плоскость.

Да, смотрю именно на рисунок. В задании плоскость обозначена так:

\[ (B_1C_1B). \]

Здесь нужно проверить не «параллельность точек», а то, что они не лежат на одной прямой.

На рисунке:

• \(B_1C_1\) — одно ребро квадрата;
• \(B_1B\) — соседнее ребро;
• эти рёбра пересекаются в точке \(B_1\) и образуют угол.

Значит, точки \(B_1,\ C_1,\ B\) не лежат на одной прямой и действительно задают плоскость. Четвёртая точка \(C\) — просто четвёртая вершина этой грани, для обозначения плоскости она не нужна.

Понял. Я раньше ушёл не туда. Разбираем именно плоскость \((B_1C_1B)\).

Она совпадает с гранью куба:

\[ (B_1C_1B)=(BB_1C_1C). \]

Какие прямые не параллельны этой плоскости?

1. Прямые, лежащие в самой плоскости

\[ BB_1,\quad B_1C_1,\quad C_1C,\quad CB. \]

Они не считаются параллельными, потому что имеют с плоскостью бесконечно много общих точек.

2. Прямые, которые пересекают плоскость

\[ AB,\quad DC,\quad A_1B_1,\quad D_1C_1. \]

Они пересекают плоскость соответственно в точках \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\). Поэтому они тоже не параллельны плоскости.

Какие тогда параллельны?

Прямые на противоположной грани \(ADD_1A_1\):

\[ AD,\quad DD_1,\quad D_1A_1,\quad A_1A. \]

Они не имеют общих точек с плоскостью \((B_1C_1B)\) и идут в нейтральном направлении, поэтому:

\[ AD\parallel (B_1C_1B),\quad DD_1\parallel (B_1C_1B),\quad \ldots \]

Главное правило:

• есть общая точка с плоскостью → прямая не параллельна ей;
• нет общих точек → прямая может быть параллельна плоскости;
• прямая лежит в плоскости → тоже не называют параллельной.

Это продолжение той же задачи про плоскость \((B_1C_1B)\).

Верные варианты:

\[ \boxed{AD_1 \text{ и } AA_1} \]

Почему:

• \(AD_1\) и \(AA_1\) находятся на противоположной грани куба \(ADD_1A_1\), поэтому не пересекают плоскость \((B_1C_1B)\) и параллельны ей.
• \(B_1C\) лежит в этой плоскости;
• \(AB\) пересекает её в точке \(B\);
• \(CD_1\) пересекает её в точке \(C\).

Поэтому \(AB\) выбирать не нужно.