Реши номер 98

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle \frac{2}{a-4b}\);

б) \(\displaystyle \frac{1}{b}\).

а)

\[ \frac1{a-4b}-\frac1{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2} \]

Разложим последний знаменатель:

\[ 16b^2-a^2=-(a^2-16b^2)=-(a-4b)(a+4b). \]

Общий знаменатель:

\[ (a-4b)(a+4b). \]

Тогда

\[ \begin{aligned} &\frac{a+4b}{(a-4b)(a+4b)} -\frac{a-4b}{(a-4b)(a+4b)} +\frac{2a}{(a-4b)(a+4b)} \\ &=\frac{a+4b-a+4b+2a}{(a-4b)(a+4b)} \\ &=\frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)} \\ &=\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} =\boxed{\frac{2}{a-4b}}. \end{aligned} \]

Ограничения: \(a\ne4b\), \(a\ne-4b\).

б)

\[ \frac1{2b-2a}+\frac1{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^3} \]

Разложим знаменатели:

\[ 2b-2a=2(b-a),\qquad 2b+2a=2(b+a), \]

\[ a^2b-b^3=b(a^2-b^2). \]

Сначала сложим первые две дроби:

\[ \frac1{2(b-a)}+\frac1{2(b+a)} =\frac{b}{b^2-a^2} =-\frac{b}{a^2-b^2}. \]

Получаем:

\[ -\frac{b}{a^2-b^2} +\frac{a^2}{b(a^2-b^2)} = \frac{-b^2+a^2}{b(a^2-b^2)} = \boxed{\frac1b}. \]

Ограничения: \(b\ne0\), \(a\ne b\), \(a\ne-b\).