10.16
Составление ответа по математике на русском языке
Мне нужно подготовить краткий ответ на русском языке к заданию 10.16, которое включает упрощение выражения \((a^5 b^3)^6 \cdot (a^7 b^4)^5 : (a^{21} b^{12})^3\) и нахождение его значения при \(a = -5/11\) и \(b = 3 \frac{2}{3}\). Я проверю применение степеней и использую правила возведения произведения в степень, что приведёт к упрощённому виду \(a^2b^2\) с конечным значением \(\frac{25}{9}\). Начнём составлять ответ!
Составление краткого ответа на русском языке
Мне нужно убедиться, что мой ответ соответствует указанию: после предоставления полного решения, если это уместно, следует добавить содержательный следующий шаг. Подойдёт, например, фраза «Попробуй упростить выражение с другими степенями» в качестве задания для ученика. Также следует подтвердить ясность задания, включить краткий ответ с заголовком «Краткий ответ» и упомянуть основные шаги правильного вычитания показателей степеней. Объединим всё это!
Краткий ответ:
\[
(a^5b^3)^6\cdot(a^7b^4)^5:(a^{21}b^{12})^3=a^2b^2,
\]
при \(a=-\frac5{11}\), \(b=3\frac23\):
\[
\boxed{\frac{25}{9}}.
\]
Решение:
Используем правила: \[ (x^m)^n=x^{mn},\qquad x^m\cdot x^n=x^{m+n},\qquad \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}. \]
Раскроем степени: \[ (a^5b^3)^6=a^{30}b^{18}, \] \[ (a^7b^4)^5=a^{35}b^{20}, \] \[ (a^{21}b^{12})^3=a^{63}b^{36}. \]
Тогда \[ a^{30}b^{18}\cdot a^{35}b^{20}:a^{63}b^{36} =a^{30+35-63}b^{18+20-36} =a^2b^2. \]
Преобразуем смешанное число: \[ b=3\frac23=\frac{11}{3}. \]
Подставим: \[ a^2b^2=\left(-\frac5{11}\right)^2\left(\frac{11}{3}\right)^2 =\left(-\frac5{3}\right)^2 =\boxed{\frac{25}{9}}. \]
