Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. \(n=5\).
2. \(3600\) решений.
3. Подходящие варианты: \(123,\ 445,\ 570,\ 636,\ 924\).
4. \(S_{CDE}=19\).

1

Всего у \(n^3\) маленьких кубиков:

\[ 6n^3 \]

граней. Белыми являются только внешние грани большого куба:

\[ 6n^2. \]

По условию:

\[ \frac{6n^2}{6n^3}=\frac15. \]

Значит,

\[ \frac1n=\frac15,\qquad \boxed{n=5}. \]

Проверка: при \(n=5\) доля окрашенных граней равна \(1/5\).

---

2

Разложим число:

\[ 1414=2\cdot 7\cdot 101. \]

Пусть

\[ a=m+n,\qquad b=k+l,\qquad c=p+q. \]

Так как переменные натуральные, \(a,b,c\ge 2\). Поэтому множители должны быть числами

\[ 2,\ 7,\ 101 \]

в некотором порядке. Таких порядков:

\[ 3!=6. \]

Количество представлений числа \(r\) в виде суммы двух натуральных чисел равно \(r-1\). Поэтому для одного порядка:

\[ (2-1)(7-1)(101-1)=1\cdot6\cdot100=600. \]

Итого:

\[ 6\cdot600=\boxed{3600}. \]

---

3

Пусть трёхзначное число имеет вид \(\overline{abc}\). Тогда после вычитания утроенной суммы цифр получаем:

\[ 100a+10b+c-3(a+b+c)=97a+7b-2c. \]

Число \(66\) невозможно: минимальное значение выражения для трёхзначного числа равно

\[ 97+0-18=79. \]

Остальные варианты подходят. Примеры:

\[ 141-3(1+4+1)=141-18=123; \]

\[ 493-3(4+9+3)=493-48=445; \]

\[ 606-3(6+0+6)=606-36=570; \]

\[ 681-3(6+8+1)=681-45=636; \]

\[ 996-3(9+9+6)=996-72=924. \]

Ответ:

\[ \boxed{123,\ 445,\ 570,\ 636,\ 924}. \]

---

4

Из условия:

\[ 4AE=3EB, \]

поэтому

\[ AE:EB=3:4. \]

Пусть

\[ AE=3x,\qquad EB=4x,\qquad AB=7x. \]

Обозначим высоту \(CE\) через \(h\).

Так как \(AB\) и \(CD\) — диаметры одной окружности, точка \(D\) симметрична точке \(C\) относительно центра окружности. Из этого следует, что площадь треугольника \(CDE\) составляет \(\frac17\) площади треугольника \(ABC\):

\[ \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=\frac{x}{7x}=\frac17. \]

Тогда

\[ S_{CDE}=\frac{133}{7}=\boxed{19}. \]