Реши подробно как на примерах в тетради
Уточнение математических задач
Я анализирую математическую задачу, которая, по-видимому, связана с логарифмами с основаниями, в частности \(7/4\), а также с различными неравенствами. В напечатанных строках указано несколько логарифмов и условий, которые, возможно, нужно решить. Однако я не уверен, следует ли мне рассматривать конкретные задачи и какую именно пользователь хочет, чтобы я решил. Вероятно, стоит задать чёткий вопрос, например: «Какую задачу вы хотели бы, чтобы я решил?», чтобы уточнить ожидания.
Планирование решения неравенств
Я работаю над решением набора логарифмических неравенств, что включает нахождение корней и представление ответов в определённых форматах. Нужно предоставить и краткий ответ, и подробные шаги, как было запрошено, в формате, похожем на записи. Я должен уточнить каждое неравенство, включая область допустимых значений, монотонность и преобразования. Поскольку неравенств десять, решение может получиться довольно объёмным, но это вполне выполнимо. Я также разберу первое изображение, чтобы извлечь из него все необходимые неравенства для решения. Приступим к каждому из них!
Решение логарифмических неравенств
Я решаю логарифмические неравенства, чтобы найти множества решений. Для первого, с основанием 2, нужно учесть, что \(x > 0\). Я нахожу, что \(\log_2 x > 3\) эквивалентно \(x > 8\), поэтому ответ: \((8, +\infty)\). Я проверю значения, например \(x = 9\), чтобы подтвердить результат. Для второго неравенства, поскольку основание 5 задаёт возрастающую функцию, \(\log_5 x \ge -1\) преобразуется в \(x \ge 1/5\), что даёт ответ \([1/5, +\infty)\).
Подготовка решений задач
Я обдумываю структуру для нескольких примеров в формате записи в тетради, решая задания 1A, 2A и 3A. Запись должна быть аккуратной, с понятными решениями, возможно, с включением русского варианта: «На фото 10 неравенств, поэтому решаю все». Я не уверен, стоит ли добавлять оговорку, хотя это может снизить уверенность в ответе. Таблица с нумерацией может оказаться подходящим вариантом, но нужно убедиться, что она остаётся удобной для восприятия! Я сосредоточусь на чётком представлении основного правила, а затем приведу подробные уравнения.
Решаю все 10 неравенств с фотографии.
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1А | \(x\in(8;+\infty)\) |
| 2А | \(x\in\left[\dfrac15;+\infty\right)\) |
| 3А | \(x\in\left(0;\dfrac1{16}\right)\) |
| 4А | \(x\in\left(0;\dfrac1{49}\right]\) |
| 5А | \(x\in\left(\dfrac13;\dfrac43\right)\) |
| 6А | \(x\in\left(-\dfrac12;-\dfrac3{20}\right)\) |
| 7А | \(x\in\left(-\dfrac13;\dfrac12\right]\) |
| 8А | \(x\in\left(\dfrac95;5\right]\) |
| 9А | \(x\in(-\infty;-3]\cup[2;6)\) |
| 10А | \(x\in(0;2)\cup(11;+\infty)\) |
Правило
У логарифма аргумент должен быть положительным:
\[ \log_a f(x)\ \text{существует, если } f(x)>0. \]
Если \(a>1\), знак неравенства сохраняется.
Если \(0<a<1\), знак неравенства меняется на противоположный.
1А. \(\log_2x>3\)
ОДЗ:
\[ x>0. \]
Так как \(2>1\), знак сохраняется:
\[ \log_2x>3 \]
\[ x>2^3 \]
\[ x>8. \]
С учётом ОДЗ:
\[ \boxed{x\in(8;+\infty)}. \]
2А. \(\log_5x\ge -1\)
ОДЗ:
\[ x>0. \]
Так как \(5>1\), знак сохраняется:
\[ \log_5x\ge -1 \]
\[ x\ge 5^{-1} \]
\[ x\ge \frac15. \]
Это условие уже удовлетворяет ОДЗ.
\[ \boxed{x\in\left[\frac15;+\infty\right)}. \]
3А. \(\log_{\frac14}x>2\)
ОДЗ:
\[ x>0. \]
Основание удовлетворяет условию
\[ 0<\frac14<1, \]
поэтому знак меняется:
\[ \log_{\frac14}x>2 \]
\[ 0<x<\left(\frac14\right)^2 \]
\[ 0<x<\frac1{16}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(0;\frac1{16}\right)}. \]
4А. \(\log_7x\le -2\)
ОДЗ:
\[ x>0. \]
Так как \(7>1\), знак сохраняется:
\[ \log_7x\le -2 \]
\[ 0<x\le 7^{-2} \]
\[ 0<x\le \frac1{49}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(0;\frac1{49}\right]}. \]
5А. \(\log_3(3x-1)<1\)
Сначала запишем ОДЗ:
\[ 3x-1>0, \]
\[ 3x>1, \]
\[ x>\frac13. \]
Так как \(3>1\), знак сохраняется:
\[ \log_3(3x-1)<1 \]
\[ 3x-1<3^1 \]
\[ 3x-1<3 \]
\[ 3x<4 \]
\[ x<\frac43. \]
Объединяем с ОДЗ:
\[ \frac13<x<\frac43. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(\frac13;\frac43\right)}. \]
6А. \(\log_{0,7}(2x+1)>1\)
ОДЗ:
\[ 2x+1>0, \]
\[ 2x>-1, \]
\[ x>-\frac12. \]
Поскольку
\[ 0<0{,}7<1, \]
знак меняется:
\[ \log_{0,7}(2x+1)>1 \]
\[ 0<2x+1<0{,}7. \]
Решим двойное неравенство:
\[ 2x+1>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac12; \]
\[ 2x+1<0{,}7=\frac7{10} \]
\[ 2x<-\frac3{10} \]
\[ x<-\frac3{20}. \]
Следовательно,
\[ -\frac12<x<-\frac3{20}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac12;-\frac3{20}\right)}. \]
7А. \(\log_2(3x+1)\le \log_2(x+2)\)
ОДЗ
\[ \begin{cases} 3x+1>0,\\ x+2>0. \end{cases} \]
Получаем:
\[ \begin{cases} x>-\dfrac13,\\ x>-2. \end{cases} \]
Общее условие:
\[ x>-\frac13. \]
Так как \(2>1\), сравниваем аргументы:
\[ 3x+1\le x+2. \]
\[ 2x\le1. \]
\[ x\le\frac12. \]
С учётом ОДЗ:
\[ -\frac13<x\le\frac12. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac13;\frac12\right]}. \]
8А. \(\log_{\frac74}(5x-9)\le \log_{\frac74}(3x+1)\)
ОДЗ
\[ \begin{cases} 5x-9>0,\\ 3x+1>0. \end{cases} \]
Решаем:
\[ 5x-9>0 \quad\Rightarrow\quad x>\frac95; \]
\[ 3x+1>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac13. \]
Общее условие:
\[ x>\frac95. \]
Так как
\[ \frac74>1, \]
знак сохраняется:
\[ 5x-9\le3x+1. \]
\[ 2x\le10. \]
\[ x\le5. \]
Объединяем с ОДЗ:
\[ \frac95<x\le5. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(\frac95;5\right]}. \]
9А. \(\log_{\frac12}(6-x)\ge \log_{\frac12}x^2\)
ОДЗ
Аргументы логарифмов должны быть положительными:
\[ \begin{cases} 6-x>0,\\ x^2>0. \end{cases} \]
Отсюда:
\[ x<6,\qquad x\ne0. \]
Так как
\[ 0<\frac12<1, \]
знак меняется:
\[ 6-x\le x^2. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ x^2+x-6\ge0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+3)(x-2)\ge0. \]
Корни:
\[ x_1=-3,\qquad x_2=2. \]
Парабола направлена вверх, поэтому:
\[ x\in(-\infty;-3]\cup[2;+\infty). \]
Учитываем ОДЗ \(x<6\):
\[ \boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[2;6)}. \]
10А. \(\log_{0,3}(x^2+22)<\log_{0,3}(13x)\)
ОДЗ
Первый аргумент всегда положителен:
\[ x^2+22>0. \]
Второй аргумент:
\[ 13x>0, \]
\[ x>0. \]
Так как
\[ 0<0{,}3<1, \]
знак меняется:
\[ x^2+22>13x. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ x^2-13x+22>0. \]
Разложим на множители:
\[ (x-2)(x-11)>0. \]
Корни:
\[ x_1=2,\qquad x_2=11. \]
Произведение положительно вне корней:
\[ x\in(-\infty;2)\cup(11;+\infty). \]
Учитываем ОДЗ \(x>0\):
\[ \boxed{x\in(0;2)\cup(11;+\infty)}. \]
Проверка
В №9А и №10А основания меньше единицы, поэтому знак неравенства был изменён. Концы промежутков включены только там, где стоит \(\le\) или \(\ge\). Точки, в которых аргумент логарифма равен нулю, исключены из ответа.
