Номер 356
Краткий ответ: \[ \boxed{\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2}, \] где \(d_1,d_2\) — расстояния от вершины конуса до плоскостей сечений.
Доказательство:
Пусть плоскости сечений находятся на расстояниях \(d_1\) и \(d_2\) от вершины \(V\), а радиусы полученных кругов равны \(r_1\) и \(r_2\).
Проведём осевое сечение конуса. В нём получатся два подобных треугольника: их боковые стороны лежат на образующих конуса, а основания параллельны, поскольку исходные плоскости перпендикулярны оси конуса.
По подобию треугольников: \[ \frac{r_1}{r_2}=\frac{d_1}{d_2}. \]
Площади сечений — площади кругов: \[ S_1=\pi r_1^2,\qquad S_2=\pi r_2^2. \]
Следовательно, \[ \frac{S_1}{S_2} =\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} =\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 =\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2. \]
Что и требовалось доказать. Проверка: при увеличении расстояния от вершины в \(k\) раз радиус увеличивается в \(k\) раз, а площадь — в \(k^2\) раз.
Обсуждение
4 сообщенияможешь сгенерировать рисунок к этой задаче
Да. Если речь о двух сечениях конуса, вот схема его осевого сечения:
V
●
/│\
/ │ \
/ │ \
/---┼---\ ← первое сечение
/ │ \
/-----┼-----\ ← второе сечение
/ │ \
/_______│_______\
│
│
│ ось конуса
VS₁ = d₁ VS₂ = d₂
┌──────┐ ┌──────────┐
V S₁ V S₂
Горизонтальные отрезки на рисунке — диаметры круговых сечений:
\[ S_1=\pi r_1^2,\qquad S_2=\pi r_2^2, \]
а их половины — радиусы \(r_1\) и \(r_2\).
Мне нужен рисунок к задаче(конус со всеми данными)
Вот схема к задаче №356. Рисунок показан не в масштабе:
V
●
/│\
/ │ \
/ │ \
/ │ \
/────●────\ Π₁
/ O₁───→ r₁
/ │
/ │
/─────────●─────────\ Π₂
/ O₂────→ r₂
/ │
/ │
/_____________│_____________\
O
│
ось конуса
Обозначения:
\[ VO_1=d_1,\qquad VO_2=d_2; \]
\[ O_1A_1=r_1,\qquad O_2A_2=r_2; \]
\[ S_1=\pi r_1^2,\qquad S_2=\pi r_2^2. \]
Здесь \(V\) — вершина конуса, \(O_1,O_2\) — центры кругов сечений, \(\Pi_1,\Pi_2\) — плоскости сечений, а \(S_1,S_2\) — их площади.
