Контрольная работа

Краткий ответ

1. а) \(x=-\dfrac65\).
   б) Корни: \(x=\pm\sqrt5\), больший корень: \(\boxed{\sqrt5}\).

2. а) \(\boxed{x=-8;\ 0;\ 8}\).
   б) \(\boxed{x=-\dfrac14;\ \dfrac14;\ 2}\).

3. \(\boxed{x=-1;\ 1}\).

4. \(\boxed{\text{Действительных решений нет}}\).

Решение

1а)

\[ 7+8x=-2x-5 \]

Перенесём слагаемые с \(x\) в левую часть, числа — в правую:

\[ 8x+2x=-5-7, \]

\[ 10x=-12, \]

\[ x=-\frac{12}{10}=-\frac65. \]

---

1б)

Раскроем скобки:

\[ (x-1)(x+1)=x^2-1. \]

Тогда

\[ x^2-1=2x^2-6, \]

\[ x^2=5. \]

Следовательно,

\[ x_1=-\sqrt5,\qquad x_2=\sqrt5. \]

Больший корень:

\[ \boxed{\sqrt5}. \]

---

2а)

Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x^3-64x=x(x^2-64)=0. \]

Разложим разность квадратов:

\[ x(x-8)(x+8)=0. \]

Отсюда:

\[ \boxed{x=-8;\ 0;\ 8}. \]

---

2б)

Сгруппируем слагаемые:

\[ 16x^3-32x^2-x+2 =16x^2(x-2)-(x-2). \]

Вынесем общий множитель:

\[ (x-2)(16x^2-1)=0. \]

Разложим разность квадратов:

\[ (x-2)(4x-1)(4x+1)=0. \]

Получаем:

\[ \boxed{x=2;\ \frac14;\ -\frac14}. \]

---

3. Биквадратное уравнение

Сделаем замену:

\[ t=x^2,\qquad x^4=t^2. \]

Тогда:

\[ 5t^2+7t-12=0. \]

Найдём корни:

\[ D=7^2-4\cdot5\cdot(-12)=49+240=289=17^2, \]

\[ t=\frac{-7\pm17}{10}. \]

Отсюда:

\[ t_1=1,\qquad t_2=-\frac{12}{5}. \]

Так как \(t=x^2\ge 0\), значение \(t=-\dfrac{12}{5}\) не подходит. Остаётся:

\[ x^2=1, \]

\[ \boxed{x=-1;\ 1}. \]

---

4. Дробное рациональное уравнение

\[ 2+\frac8{x-3}=\frac4x. \]

Сначала укажем ОДЗ:

\[ x\ne3,\qquad x\ne0. \]

Умножим уравнение на \(x(x-3)\):

\[ 2x(x-3)+8x=4(x-3). \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2-6x+8x=4x-12, \]

\[ 2x^2-2x+12=0. \]

Разделим на \(2\):

\[ x^2-x+6=0. \]

Дискриминант:

\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot6=1-24=-23<0. \]

Действительных корней нет:

\[ \boxed{\text{решений нет}}. \]