реши номер 535

Краткий ответ: если \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), то

\[ \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}, \]

или, что равносильно,

\[ \boxed{\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}}. \]

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\).

1. У них общая высота, проведённая из вершины \(A\) к прямой \(BC\). Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}. \]

2. Найдём отношение площадей по двум сторонам и углу между ними:

\[ S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD, \]

\[ S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\cdot\sin\angle DAC. \]

Так как \(AD\) — биссектриса, то

\[ \angle BAD=\angle DAC. \]

Следовательно,

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}. \]

3. Приравниваем два выражения для отношения площадей:

\[ \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}. \]

Отсюда

\[ BD\cdot AC=CD\cdot AB, \]

\[ \boxed{\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}}. \]

Теорема доказана.

Проверка: если \(AB=AC\), то получаем \(BD=CD\), что верно для равнобедренного треугольника.