Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. а) \(115^\circ\); б) \(95^\circ\); в) \(54^\circ\).
2. а) \(76^\circ\); б) \(60^\circ\); в) \(80^\circ\).
3. Да, равны.
4. \(73^\circ,\ 107^\circ,\ 73^\circ,\ 107^\circ\).
5. \(120^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 60^\circ\).
6. \(\angle AOM=104^\circ\).
7. \(\angle KON=35^\circ\) или \(125^\circ\).
8. \(318^\circ\).
9. \(225^\circ\).
10. По \(70^\circ\).
11. \(52^\circ\) и \(128^\circ\).
12. \(73^\circ\) и \(107^\circ\).
13. \(\angle MBK=20^\circ\).

Решение

Основные правила:

• смежные углы в сумме дают \(180^\circ\);
• вертикальные углы равны;
• сумма углов вокруг точки равна \(360^\circ\).

Задача 1

Углы \(\angle ABK\) и \(\angle KBC\) — смежные:

\[ \angle ABK=180^\circ-\angle KBC. \]

а) \(180^\circ-65^\circ=115^\circ\);

б) \(180^\circ-85^\circ=95^\circ\);

в) \(180^\circ-126^\circ=54^\circ\).

Задача 2

Так как \(AOC\) — развернутый угол,

\[ \angle AOM+\angle MON+\angle NOC=180^\circ. \]

По условию \(\angle MON=\angle CON=\angle NOC\).

а)

\[ \angle AOM=180^\circ-2\cdot52^\circ=76^\circ. \]

б)

\[ \angle AOM=180^\circ-\angle MOC =180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

в) Пусть \(\angle MON=\angle NOC=x\), а \(\angle AOM=y\). Тогда:

\[ y+x=130^\circ, \]

\[ y+2x=180^\circ. \]

Вычитая первое равенство из второго, получаем \(x=50^\circ\), поэтому

\[ y=130^\circ-50^\circ=80^\circ. \]

Задача 3

Если данные углы равны и каждый равен \(x\), то смежные с ними углы равны:

\[ 180^\circ-x. \]

Значит, смежные углы также равны.

Задача 4

Смежные углы не могут иметь сумму \(146^\circ\), потому что их сумма равна \(180^\circ\). Значит, это вертикальные углы:

\[ 2x=146^\circ,\qquad x=73^\circ. \]

Смежные с ними:

\[ 180^\circ-73^\circ=107^\circ. \]

Ответ: \(73^\circ,\ 107^\circ,\ 73^\circ,\ 107^\circ\).

Задача 5

Сумма всех четырёх углов вокруг точки:

\[ 360^\circ. \]

Четвёртый угол равен:

\[ 360^\circ-240^\circ=120^\circ. \]

Вертикальный ему угол тоже \(120^\circ\), а смежные:

\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

Задача 6

Схематично лучи расположены так:

A        C        M
 \       |       /
  \      |      /
   \     |     /
        O

Луч \(OC\) делит угол \(AOM\), поэтому:

\[ \angle AOM=\angle AOC+\angle COM =48^\circ+56^\circ=104^\circ. \]

Проверка: \(48^\circ+56^\circ=104^\circ\).

Задача 7

Возможны два расположения лучей.

• Если \(OK\) и \(ON\) находятся по одну сторону от \(OM\), то:

\[ \angle KON=80^\circ-45^\circ=35^\circ. \]

• Если \(OK\) и \(ON\) находятся по разные стороны от \(OM\), то:

\[ \angle KON=45^\circ+80^\circ=125^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{35^\circ\text{ или }125^\circ}\).

Задача 8

Если \(\angle AOB=42^\circ\), то вертикальный ему угол:

\[ \angle KOC=42^\circ. \]

Смежные углы:

\[ \angle AOK=\angle COB=180^\circ-42^\circ=138^\circ. \]

Тогда:

\[ \angle AOK+\angle KOC+\angle COB =138^\circ+42^\circ+138^\circ=318^\circ. \]

Задача 9

Дано:

\[ \angle AOK=135^\circ. \]

Вертикальный угол:

\[ \angle COB=135^\circ. \]

Смежные с ним углы:

\[ \angle AOB=\angle KOC=180^\circ-135^\circ=45^\circ. \]

Сумма:

\[ 45^\circ+45^\circ+135^\circ=225^\circ. \]

Задача 10

Острые углы смежны с тупыми:

\[ 180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]

Каждый острый угол равен \(70^\circ\).

Задача 11

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший — \(x+76^\circ\).

\[ x+(x+76^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=104^\circ,\qquad x=52^\circ. \]

Второй угол:

\[ 52^\circ+76^\circ=128^\circ. \]

Задача 12

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший — \(x+34^\circ\).

\[ x+(x+34^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=146^\circ,\qquad x=73^\circ. \]

Второй угол:

\[ 73^\circ+34^\circ=107^\circ. \]

Задача 13

Угол \(ABC\) равен \(160^\circ\). Лучи \(BK\) и \(BM\) перпендикулярны сторонам угла и проходят внутри него. Угол между внутренними перпендикулярами равен:

\[ 180^\circ-160^\circ=20^\circ. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\angle MBK=20^\circ}. \]