Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(\displaystyle \frac{2x^2}{y^2}:\frac{3x}{y}=\frac{2x}{3y}\);

б) \(\displaystyle (2a^2b^3)^2:18a^3b^4=\frac{2ab^2}{9}\);

в) \(\displaystyle \left(x+\frac{3x+1}{x-1}\right):\frac{x+1}{x+3} =\frac{(x+1)(x+3)}{x-1}\).

2. \(y=\dfrac6x\) — гипербола с ветвями в I и III четвертях.
   \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \] Точка \(A(-15;-0{,}4)\) принадлежит графику.

3. \[ \frac{x-8}{x+8}-\frac{x+8}{x-8}+\frac{8x}{x^2-64} =-\frac{24x}{x^2-64},\qquad x\ne\pm8. \]

4. \[ x\ne-3,\qquad x\ne3. \]

Решение

1а

\[ \frac{2x^2}{y^2}:\frac{3x}{y} =\frac{2x^2}{y^2}\cdot\frac{y}{3x} =\frac{2x}{3y}. \]

1б

\[ (2a^2b^3)^2:18a^3b^4 =\frac{4a^4b^6}{18a^3b^4} =\frac{2ab^2}{9}. \]

1в

Сначала сложим выражение в скобках: \[ x+\frac{3x+1}{x-1} =\frac{x(x-1)+3x+1}{x-1} =\frac{x^2+2x+1}{x-1} =\frac{(x+1)^2}{x-1}. \]

Теперь разделим на дробь: \[ \frac{(x+1)^2}{x-1}:\frac{x+1}{x+3} =\frac{(x+1)^2}{x-1}\cdot\frac{x+3}{x+1} =\frac{(x+1)(x+3)}{x-1}. \]

2

Для построения графика можно взять точки: \[ (1;6),\ (2;3),\ (3;2),\ (6;1), \] \[ (-1;-6),\ (-2;-3),\ (-3;-2),\ (-6;-1). \]

Проверим точку: \[ y=\frac6{-15}=-0{,}4. \] Получили координату точки \(A\), значит, точка принадлежит графику.

3

Так как \[ x^2-64=(x-8)(x+8), \] то \[ \frac{x-8}{x+8} =\frac{(x-8)^2}{x^2-64}, \qquad \frac{x+8}{x-8} =\frac{(x+8)^2}{x^2-64}. \]

Тогда \[ \begin{aligned} E&=\frac{(x-8)^2-(x+8)^2+8x}{x^2-64}\\ &=\frac{x^2-16x+64-x^2-16x-64+8x}{x^2-64}\\ &=-\frac{24x}{x^2-64}. \end{aligned} \]

4

Знаменатели не должны обращаться в ноль: \[ x^2-9\ne0,\qquad x-3\ne0. \]

\[ x^2-9=(x-3)(x+3), \] поэтому \[ x\ne3,\qquad x\ne-3. \]