Реши и распиши задания
Краткие ответы
- 11) \(x=0\), вариант 3
- Уровень B, 1) \(x=4\)
- Уровень B, 2) \(x=0\)
- Уровень B, 3) \(x\le -1\)
Решение
11. Решить уравнение
\[ 5^{x+2}=25 \]
Представим \(25\) как степень пятёрки:
\[ 25=5^2 \]
Основания одинаковые, значит, равны показатели:
\[ x+2=2 \]
\[ x=0 \]
Ответ: \[ \boxed{x=0} \] Это вариант 3.
1. Решить уравнение
\[ 2^x+2^{x-3}=18 \]
Вынесем за скобки меньшую степень \(2^{x-3}\):
\[ 2^{x-3}\left(2^3+1\right)=18 \]
Так как \(2^3=8\), получаем:
\[ 2^{x-3}(8+1)=18 \]
\[ 9\cdot 2^{x-3}=18 \]
\[ 2^{x-3}=2 \]
Представим \(2\) как \(2^1\):
\[ 2^{x-3}=2^1 \]
\[ x-3=1 \]
\[ \boxed{x=4} \]
Проверка:
\[ 2^4+2^{4-3}=16+2=18 \]
2. Решить уравнение
\[ 5^{-x}-6\cdot5^x+5=0 \]
Используем замену:
\[ t=5^x,\qquad t>0 \]
Тогда:
\[ 5^{-x}=\frac1{5^x}=\frac1t \]
Подставим:
\[ \frac1t-6t+5=0 \]
Умножим всё уравнение на \(t\):
\[ 1-6t^2+5t=0 \]
Перенесём слагаемые:
\[ 6t^2-5t-1=0 \]
Разложим на множители:
\[ (6t+1)(t-1)=0 \]
Отсюда:
\[ t=-\frac16 \quad \text{или} \quad t=1 \]
Но \(t=5^x>0\), поэтому \(t=-\frac16\) не подходит.
\[ 5^x=1 \]
\[ 5^x=5^0 \]
\[ \boxed{x=0} \]
3. Решить неравенство
\[ 5^{3x+1}\le \frac1{25} \]
Представим правую часть как степень пятёрки:
\[ \frac1{25}=\frac1{5^2}=5^{-2} \]
Получаем:
\[ 5^{3x+1}\le 5^{-2} \]
Так как основание \(5>1\), функция возрастает, поэтому сравниваем показатели:
\[ 3x+1\le -2 \]
\[ 3x\le -3 \]
\[ \boxed{x\le -1} \]
Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;-1]} \]
