Решить
Краткий ответ:
- \(\angle a_1b_1=120^\circ,\quad \angle ab_1=60^\circ\).
- \(\angle2=\angle4=145^\circ\).
- \(\angle mn=120^\circ\).
- \(\angle3=150^\circ,\quad \angle4=30^\circ\).
- \(\angle1=\angle3=60^\circ,\quad \angle2=\angle4=120^\circ\).
- \(\angle4=60^\circ\).
- \(\angle1=120^\circ,\quad \angle2=\angle3=60^\circ\).
- \(135^\circ\), если на рисунке отмечено, что \(\angle1=\angle2\).
Решение
Используем свойства:
- вертикальные углы равны;
- смежные углы в сумме дают \(180^\circ\);
- сумма углов вокруг точки равна \(360^\circ\);
- при перпендикулярных прямых образуются углы \(90^\circ\).
1. Угол \(120^\circ\) и \(\angle a_1b_1\) — вертикальные:
\[ \angle a_1b_1=120^\circ. \]
\(\angle ab_1\) смежный с углом \(120^\circ\):
\[ \angle ab_1=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
2. Углы \(1\) и \(3\) вертикальные:
\[ \angle1=\angle3. \]
\[ 2\angle1=70^\circ,\qquad \angle1=\angle3=35^\circ. \]
Тогда смежные углы:
\[ \angle2=\angle4=180^\circ-35^\circ=145^\circ. \]
3. Сумма всех углов вокруг точки равна \(360^\circ\):
\[ \angle mn=360^\circ-240^\circ=120^\circ. \]
4. Пусть \(\angle1=x\), \(\angle2=y\). Они смежные:
\[ x+y=180^\circ. \]
По условию:
\[ x-y=120^\circ. \]
Складываем уравнения:
\[ 2x=300^\circ,\qquad x=150^\circ,\qquad y=30^\circ. \]
Вертикальные углы равны:
\[ \angle3=150^\circ,\qquad \angle4=30^\circ. \]
5. Пусть
\[ \angle1=\angle3=x,\qquad \angle2=\angle4=y. \]
Тогда:
\[ 2(x+x)=y+y, \]
\[ 4x=2y,\qquad y=2x. \]
Смежные углы:
\[ x+y=180^\circ. \]
\[ x+2x=180^\circ,\qquad x=60^\circ,\qquad y=120^\circ. \]
6. Пусть
\[ \angle1=\angle3=x,\qquad \angle2=\angle4=y. \]
По условию:
\[ x+y+x=5y, \]
\[ 2x=4y,\qquad x=2y. \]
Смежные углы дают:
\[ x+y=180^\circ. \]
\[ 2y+y=180^\circ,\qquad y=60^\circ. \]
Значит,
\[ \angle4=60^\circ. \]
7. Углы \(2\) и \(3\) вертикальные, поэтому пусть
\[ \angle2=\angle3=x. \]
Тогда по условию:
\[ \angle1=2x. \]
Углы \(1\) и \(2\) смежные:
\[ 2x+x=180^\circ, \]
\[ x=60^\circ. \]
Следовательно:
\[ \angle1=120^\circ,\qquad \angle2=\angle3=60^\circ. \]
8. Так как \(AB\perp CD\),
\[ \angle COB=90^\circ. \]
Если \(OE\) делит этот прямой угол пополам, то:
\[ \angle1=\angle2=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ. \]
Тогда:
\[ \angle AOE=\angle AOC+\angle COE =90^\circ+45^\circ=135^\circ. \]
Проверка: в №5 \(2(60^\circ+60^\circ)=120^\circ+120^\circ=240^\circ\), в №6 \(120^\circ+60^\circ+120^\circ=5\cdot60^\circ\), в №7 \(120^\circ=60^\circ+60^\circ\).
