483
Краткий ответ: \(APCQ\) — параллелограмм, потому что его диагонали \(AC\) и \(PQ\) делятся точкой \(O\) пополам.
Доказательство.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Тогда диагонали параллелограмма делятся пополам:
\[ OA=OC,\qquad OB=OD. \]
По условию:
\[ PB=QD. \]
Так как \(P\) и \(Q\) лежат на диагонали \(BD\), а \(O\) — её середина, из равенства \(PB=QD\) следует, что точки \(P\) и \(Q\) симметричны относительно \(O\). Поэтому
\[ OP=OQ. \]
В четырёхугольнике \(APCQ\) диагонали — это \(AC\) и \(PQ\). Они пересекаются в точке \(O\), причём
\[ OA=OC,\qquad OP=OQ. \]
Значит, диагонали четырёхугольника \(APCQ\) делятся точкой пересечения пополам. По признаку параллелограмма:
\[ \boxed{APCQ\text{ — параллелограмм}.} \]
Принцип: чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, удобно показать, что его диагонали пересекаются и делятся пополам.
Обсуждение
2 сообщенияНапишите что дано что надо доказать доказательство само и нарисуйте получается рисунок к этой задаче
Дано
\(ABCD\) — параллелограмм.
\(AC\) и \(BD\) — его диагонали, пересекающиеся в точке \(O\).
Точки \(P\) и \(Q\) лежат на диагонали \(BD\), причём
\[ B-P-O-Q-D,\qquad PB=QD. \]
Доказать
\[ APCQ\text{ — параллелограмм}. \]
Рисунок
Схематично:
A────────────D
│\ /│
│ \ / │
│ \ Q / │
│ \ / │
│ \ / │
│ O │
│ / \ │
│ / \ │
│ / P \ │
│ / \ │
B────────────C
Здесь \(AC\) и \(BD\) — диагонали параллелограмма.
Доказательство
Так как \(ABCD\) — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам:
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
По расположению точек:
\[ BO=BP+PO, \]
\[ OD=OQ+QD. \]
Но \(BO=OD\), поэтому
\[ BP+PO=OQ+QD. \]
По условию \(PB=QD\), значит,
\[ PO=OQ. \]
Следовательно, точка \(O\) является серединой отрезка \(PQ\). Также \(O\) является серединой отрезка \(AC\), так как
\[ AO=OC. \]
В четырёхугольнике \(APCQ\) диагонали \(AC\) и \(PQ\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма:
\[ \boxed{APCQ\text{ — параллелограмм}.} \]
