Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. а) \(x=-4\); б) \(x=0,\ \dfrac{11}{2}\).
2. а) \(x=0,\ \pm\sqrt{13}\); б) \(x=\pm\sqrt3,\ \pm2\).
3. \(x=-3,\ 3\).
4. \(x=-2,\ 1,\ 4\).
5. Второй рабочий изготавливает 12 деталей в час.

---

1. Решите уравнение

а)

\[ 3(x+1)-2(x-1)=1 \]

Раскроем скобки: \[ 3x+3-2x+2=1 \] \[ x+5=1 \] \[ \boxed{x=-4} \]

б)

\[ (6-x)(6+x)-x(x-11)=36 \]

Используем формулу разности квадратов: \[ (6-x)(6+x)=36-x^2 \]

Тогда: \[ 36-x^2-x^2+11x=36 \] \[ -2x^2+11x=0 \] \[ x(11-2x)=0 \]

Отсюда: \[ \boxed{x=0 \text{ или } x=\frac{11}{2}} \]

---

2. Решите уравнение

а)

\[ x^3-13x=0 \]

Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(x^2-13)=0 \]

Произведение равно нулю, если: \[ x=0 \] или \[ x^2=13 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{13} \]

Ответ: \[ \boxed{x=0,\ \pm\sqrt{13}} \]

б)

\[ x^4-7x^2+12=0 \]

Сделаем замену: \[ t=x^2 \]

Получим: \[ t^2-7t+12=0 \] \[ (t-3)(t-4)=0 \]

Значит: \[ t=3 \quad\text{или}\quad t=4 \]

Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt3, \] \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\pm\sqrt3,\ \pm2} \]

---

3. Найдите корни уравнения

\[ \frac{x^3-2x^2-9x+18}{x^2-4}=0 \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Разложим числитель: \[ x^3-2x^2-9x+18 =x^2(x-2)-9(x-2) \] \[ =(x-2)(x^2-9) =(x-2)(x-3)(x+3) \]

Знаменатель: \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]

Ограничения: \[ x\ne2,\qquad x\ne-2. \]

Из числителя: \[ x=2,\quad x=3,\quad x=-3. \]

Значение \(x=2\) исключаем, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \[ \boxed{x=-3,\ 3} \]

---

4. Решите методом введения новой переменной

\[ (x^2-2x)(x^2-2x-7)=8 \]

Пусть: \[ t=x^2-2x. \]

Тогда: \[ t(t-7)=8 \] \[ t^2-7t-8=0 \] \[ (t-8)(t+1)=0. \]

Следовательно: \[ t=8 \quad\text{или}\quad t=-1. \]

1) \(t=8\)

\[ x^2-2x=8 \] \[ x^2-2x-8=0 \] \[ (x-4)(x+2)=0 \]

\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=-2. \]

2) \(t=-1\)

\[ x^2-2x=-1 \] \[ x^2-2x+1=0 \] \[ (x-1)^2=0 \]

\[ x=1. \]

Ответ: \[ \boxed{x=-2,\ 1,\ 4} \]

Проверка: при этих значениях выражение соответственно равно \(8\).

---

5. Задача на производительность

Пусть второй рабочий изготавливает \(x\) деталей в час. Тогда первый изготавливает \(x+3\) деталей в час.

Время работы второго: \[ \frac{180}{x} \]

Время работы первого: \[ \frac{180}{x+3} \]

Первый работает на 3 часа быстрее: \[ \frac{180}{x}-\frac{180}{x+3}=3 \]

Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{180(x+3)-180x}{x(x+3)}=3 \] \[ \frac{540}{x(x+3)}=3 \] \[ x(x+3)=180 \] \[ x^2+3x-180=0 \] \[ (x-12)(x+15)=0 \]

\[ x=12 \quad\text{или}\quad x=-15. \]

Отрицательное значение не подходит, поэтому: \[ \boxed{x=12} \]

Проверка: второй рабочий выполнит заказ за \(180:12=15\) часов, первый — за \(180:15=12\) часов. Разница составляет \(3\) часа.