Реши 267 и 268 и распиши решение

Краткий ответ:

267.

1. \(4\); 2) \(6\); 3) \(1\); 4) \(0\).

268.

1. \(-1\); 2) \(-3\); 3) \(\dfrac12\); 4) \(-\dfrac14\).

Правило

Если \(\log_2 b=x\), то это означает:

\[ 2^x=b. \]

Поэтому нужно представить число под логарифмом как степень двойки.

Упражнение 267

1. \[ \log_2 16=\log_2 2^4=4, \] так как \(2^4=16\).

2. \[ \log_2 64=\log_2 2^6=6, \] так как \(2^6=64\).

3. \[ \log_2 2=\log_2 2^1=1. \]

4. \[ \log_2 1=\log_2 2^0=0, \] так как \(2^0=1\).

Упражнение 268

1. \[ \log_2\frac12=\log_2 2^{-1}=-1, \] поскольку \(\dfrac12=2^{-1}\).

2. \[ \log_2\frac18=\log_2 2^{-3}=-3, \] поскольку \(\dfrac18=2^{-3}\).

3. \[ \log_2\sqrt2=\log_2 2^{\frac12}=\frac12, \] так как \(\sqrt2=2^{\frac12}\).

4. \[ \log_2\frac1{\sqrt[4]{2}} =\log_2 2^{-\frac14} =-\frac14, \] поскольку

\[ \frac1{\sqrt[4]{2}} =\frac1{2^{\frac14}} =2^{-\frac14}. \]

Проверка: при возведении основания \(2\) в найденные значения получаются исходные числа: \(2^4=16\), \(2^{-1}=\frac12\), \(2^{1/2}=\sqrt2\), \(2^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]{2}}\).