Построить 2 графика из задания по таблице из 3 примера
Краткий ответ:
Графики функций \(y=3^x\) и \(y=\left(\frac13\right)^x\) пересекаются в единственной точке
\[ \boxed{(0;1)}. \]
График \(y=3^x\) возрастает, а график \(y=\left(\frac13\right)^x\) убывает. Они симметричны относительно оси \(Oy\).
1. Таблица значений
Возьмём значения \(x\) от \(-2\) до \(2\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=3^x\) | \(\frac19\) | \(\frac13\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) |
| \(y=\left(\frac13\right)^x\) | \(9\) | \(3\) | \(1\) | \(\frac13\) | \(\frac19\) |
Для построения отметь точки:
\(y=3^x\):
\[ \left(-2;\frac19\right),\ \left(-1;\frac13\right),\ (0;1),\ (1;3),\ (2;9); \]\(y=\left(\frac13\right)^x\):
\[ (-2;9),\ (-1;3),\ (0;1),\ \left(1;\frac13\right),\ \left(2;\frac19\right). \]
Через точки проведи плавные кривые. Обе функции проходят через точку \((0;1)\) и не пересекают ось \(Ox\).
2. Точка пересечения
Приравняем функции:
\[ 3^x=\left(\frac13\right)^x=3^{-x}. \]
Так как основания одинаковые:
\[ x=-x, \]
\[ 2x=0,\qquad x=0. \]
Тогда
\[ y=3^0=1. \]
Следовательно,
\[ \boxed{(0;1)}. \]
3. Поведение функций
\(y=3^x\) — возрастающая функция:
- при увеличении \(x\) значения \(y\) быстро растут;
- при \(x\to-\infty\) график приближается к оси \(Ox\);
- горизонтальная асимптота: \(y=0\).
\(y=\left(\frac13\right)^x\) — убывающая функция:
- при увеличении \(x\) значения \(y\) уменьшаются;
- при \(x\to+\infty\) график приближается к оси \(Ox\);
- горизонтальная асимптота: \(y=0\).
Так как
\[ \left(\frac13\right)^x=3^{-x}, \]
графики являются зеркальными отражениями друг друга относительно оси \(Oy\).
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как схематично начертить эти графики
Конечно. Построй оба графика в одной системе координат.
Обозначим:
- ● — \(y=3^x\);
- ○ — \(y=\left(\frac13\right)^x\).
Схема расположения точек
x
-2 -1 0 1 2
y = 9 ○ ●
y = 3 ○ ●
y = 1 ●○
y = 1/3 ● ○
y = 1/9 ● ○
Как начертить
- Проведи оси координат \(Ox\) и \(Oy\).
- Нанеси точки для \(y=3^x\):
\[ \left(-2;\frac19\right),\quad \left(-1;\frac13\right),\quad (0;1),\quad (1;3),\quad (2;9). \]
Соедини их плавной возрастающей кривой:
/
/
/
/
_/________________
- Нанеси точки для \(y=\left(\frac13\right)^x\):
\[ (-2;9),\quad (-1;3),\quad (0;1),\quad \left(1;\frac13\right),\quad \left(2;\frac19\right). \]
Соедини их плавной убывающей кривой:
\
\
\
\
_______\____________
- Обе кривые проходят через общую точку
\[ \boxed{(0;1)}. \]
График \(y=3^x\) идёт вверх вправо, а график \(y=\left(\frac13\right)^x\) — вниз вправо. К оси \(Ox\) они приближаются, но не пересекают её.
