номер 76
Анализ вариантов разложения на множители
Для задания девять я, возможно, включу таблицу для разложения на множители и проверочных строк. Думаю, здесь нужно уточнить знаки. Например, d: у меня \(-(y-1)(y-15)\), но некоторые могут предпочесть \((1-y)(y-15)\)—оба варианта эквивалентны. Чтобы упростить запись, я использую \((1-y)(y-15)\), избегая внешнего минуса. Если раскрыть скобки, получится \(-y² + 16y - 15\). Отлично! Для e у меня \((1-x)(x+9)\), а для i — \((7-2x)(x+1)\).
Объяснение методов разложения на множители
Я уточняю, как представить разложение квадратных уравнений на множители. Например, при решении \(x^2 - 12x + 20\) я замечаю, что числа 2 и 10 в сумме дают 12, а при умножении дают 20, в результате чего получается \((x - 2)(x - 10)\). Я также подробно опишу преобразования для других уравнений, обеспечивая ясность выводов без повторения ответов. Например, я разложу на множители выражения вроде \(3x² - 24x + 21\) и тщательно скорректирую результаты, чтобы сохранить точность. После этого важно проверить каждый результат!
Уточнение вопросов о разложении на множители
Я стараюсь убедиться, что здесь нет скрытых проблем. Мне нужно рассмотреть только упражнение 76, поэтому нет необходимости решать упражнения 77 или 78. Что касается стандартного разложения на множители \(-y² + 16y - 15\), думаю, ожидаемый результат имеет вид \(-(y - 1)(y - 15)\). Для уравнения \(-2x² + 5x + 7\) я нахожу корни с помощью формулы корней квадратного уравнения, получая корни \(3.5\) и \(-1\). Наконец, я запишу множители.
Краткий ответ:
а) \(3(x-1)(x-7)\);
б) \(5(x-1)(x+3)\);
в) \(\dfrac16(x+1)(x+2)\);
г) \((x-2)(x-10)\);
д) \((1-y)(y-15)\);
е) \((1-x)(x+9)\);
ж) \((2x-3)(x-1)\);
з) \((5y-3)(y+1)\);
и) \((7-2x)(x+1)\).
Как получаем
Используем правило:
\[ x^2+px+q=(x+m)(x+n), \]
где \(m+n=p\), а \(mn=q\).
Если перед \(x^2\) стоит общий множитель, сначала выносим его:
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad&3x^2-24x+21=3(x^2-8x+7)=3(x-1)(x-7);\\ \text{б)}\quad&5x^2+10x-15=5(x^2+2x-3)=5(x-1)(x+3);\\ \text{в)}\quad&\frac16x^2+\frac12x+\frac13 =\frac16(x^2+3x+2)=\frac16(x+1)(x+2). \end{aligned} \]
В пункте г) нужны числа \(2\) и \(10\): их сумма \(12\), произведение \(20\):
\[ x^2-12x+20=(x-2)(x-10). \]
При отрицательном первом коэффициенте удобно вынести знак «минус»:
\[ \begin{aligned} \text{д)}\quad&-y^2+16y-15=-(y-1)(y-15)=(1-y)(y-15);\\ \text{е)}\quad&-x^2-8x+9=-(x-1)(x+9)=(1-x)(x+9). \end{aligned} \]
Для остальных удобно разложить средний член:
\[ \begin{aligned} \text{ж)}\quad 2x^2-5x+3 &=2x^2-2x-3x+3\\ &=2x(x-1)-3(x-1)\\ &=(2x-3)(x-1); \\[4pt] \text{з)}\quad 5y^2+2y-3 &=5y^2+5y-3y-3\\ &=(5y-3)(y+1); \\[4pt] \text{и)}\quad -2x^2+5x+7 &=-(2x^2-5x-7)\\ &=-(2x-7)(x+1)\\ &=(7-2x)(x+1). \end{aligned} \]
Проверка выполняется раскрытием скобок: например,
\[ (2x-3)(x-1)=2x^2-5x+3, \]
то есть получается исходный трёхчлен.
