Реши задание на изображении
Вычисление интегралов
Задача пользователя — решить несколько интегралов, поэтому я прослежу, чтобы вычислить все видимые и сохранить условия. Для первого найду интеграл от 1 до 4 от \(3 - 2x\). Первообразная — \(3x - x^2\). После подстановки получаю -6. Для второго интеграла от 0 до 1 от \(x^2 + 1\) получается \(4/3\). Следующий, от -1 до 0 от \(x^2 + 2x\), даёт -2/3. Наконец, для интеграла от 0 до 1 от \(2x^3 - x + 1\) получаю результат 1.
Вычисление шагов решения
Я проверяю несколько математических задач. В одном уравнении, по-видимому, нужно упростить дроби и проинтегрировать. Я планирую использовать формулу Ньютона—Лейбница для вычисления интегралов, убедившись в проверке результатов. Похоже, пользователь хочет краткий ответ с последующими ключевыми шагами. Также упоминается изображение для справки, содержащее конкретные задачи, поэтому я внимательно изучу его, чтобы удовлетворить запрос без добавления лишних деталей.
Анализ задач на интегралы
Я рассматриваю набор интегралов на предоставленном изображении. Похоже, я начну с трёх интегралов для задачи 37 и одного для задачи 38, отмечая, что отрицательные значения определённых интегралов допустимы. Сначала я кратко запишу ответ, указав результаты для каждой части. После этого планирую объяснить принципы и ключевые шаги, возможно показав первообразные и методы подстановки, не будучи излишне повторным. Организуем всё это эффективно!
Краткий ответ:
- 37: а) \(-6\); б) \(\frac43\); в) \(-\frac23\); г) \(1\).
- 38: а) \(-\frac{38}{3}\); б) \(\frac5{14}\); в) \(\frac{31}{480}\); г) \(\frac{14}{3}\).
Для вычисления используем формулу Ньютона—Лейбница:
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \]
где \(F'(x)=f(x)\).
Задание 37
а)
\[ \int_1^4(3-2x)\,dx =\left(3x-x^2\right)\Big|_1^4 =(-4)-2=-6. \]
б)
\[ \int_0^1(x^2+1)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^1 =\frac13+1=\frac43. \]
в)
\[ \int_{-1}^0(x^2+2x)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Big|_{-1}^0 =0-\left(-\frac13+1\right) =-\frac23. \]
г)
\[ \int_0^1(2x^3-x+1)\,dx =\left(\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^1 =1. \]
Задание 38
а)
\[ \int_{-1}^1(2x^2-5x-7)\,dx. \]
Функция \(-5x\) нечётная, поэтому её интеграл на симметричном отрезке равен нулю:
\[ \int_{-1}^1 2x^2\,dx-\int_{-1}^1 7\,dx =\frac43-14 =-\frac{38}{3}. \]
б)
\[ \int_2^7\frac{dx}{x^2} =\int_2^7x^{-2}\,dx =\left(-\frac1x\right)\Big|_2^7 =-\frac17+\frac12 =\frac5{14}. \]
в)
\[ \int_1^2\frac{dx}{3x^6} =\left(-\frac1{15x^5}\right)\Big|_1^2 =-\frac1{480}+\frac1{15} =\frac{31}{480}. \]
г)
\[ \int_1^4\sqrt{x}\,dx =\int_1^4x^{1/2}\,dx =\left(\frac23x^{3/2}\right)\Big|_1^4 =\frac23(8-1) =\frac{14}{3}. \]
Проверка: при дифференцировании использованных первообразных получаются исходные подынтегральные функции. Отрицательные ответы допустимы, так как определённый интеграл учитывает знак функции.
