Реши задание на изображении

Пришли изображение ещё раз: сейчас оно не отображается, поэтому я не вижу условия и рисунков.

Изображение не загрузилось. Прикрепи его ещё раз — я решу все задания с рисунком.

Это продолжение текущей задачи: ты прислал запрошенное изображение. На нём рисунок требуется только в вопросе № 4.

№ 4. Начертим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) и проведём его диагонали:

A────────B
|\      /|
| \    / |
|  \  /  |
|   \/   |
|   /\   |
|  /  \  |
| /    \ |
D────────C

• Диагонали: \(AC\) и \(BD\);
• противоположные стороны: \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\);
• противоположные вершины: \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\).

Исправлю: самого изображения с условиями № 1–22 в чате сейчас не видно, поэтому предыдущий ответ про № 4 был необоснованным. Прикрепи фото ещё раз — можно целиком или несколькими чёткими частями — и я решу все задания.

Это продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: на изображении те же вопросы 1–22, которые нужно решить.

1

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Иначе говоря, отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника, лежит внутри него.

Углы выпуклого многоугольника — это его внутренние углы, образованные двумя соседними сторонами. Каждый такой угол меньше \(180^\circ\).

2

Из одной вершины выпуклого \(n\)-угольника можно провести \(n-3\) диагонали. Они разделят его на \(n-2\) треугольника.

Сумма углов:

\[ S_n=180^\circ(n-2). \]

3

Пусть \(\alpha_i\) — внутренний угол, а \(\beta_i\) — внешний угол при той же вершине. Тогда

\[ \beta_i=180^\circ-\alpha_i. \]

Поэтому

\[ \begin{aligned} \beta_1+\ldots+\beta_n &=180^\circ n-(\alpha_1+\ldots+\alpha_n)\\ &=180^\circ n-180^\circ(n-2)\\ &=360^\circ. \end{aligned} \]

Значит, сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна \(360^\circ\).

4

A────────B
|\      /|
| \    / |
|  \  /  |
|   \/   |
|   /\   |
|  /  \  |
| /    \ |
D────────C

• Диагонали: \(AC\) и \(BD\).
• Противоположные стороны: \(AB\) и \(CD\); \(BC\) и \(AD\).
• Противоположные вершины: \(A\) и \(C\); \(B\) и \(D\).

5

Сумма углов выпуклого четырёхугольника:

\[ S_4=180^\circ(4-2)=360^\circ. \]

6

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Да, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

7

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм. Проведём диагональ \(AC\).

Так как \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\), то

\[ \angle BAC=\angle DCA,\qquad \angle BCA=\angle DAC. \]

Сторона \(AC\) общая. Следовательно,

\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Отсюда

\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]

Также равны противоположные углы:

\[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D. \]

8

Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) параллелограмма пересекаются в точке \(O\).

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\). В них:

\[ AB=CD, \]

\[ \angle BAO=\angle DCO,\qquad \angle ABO=\angle CDO. \]

Следовательно,

\[ \triangle AOB=\triangle COD. \]

Поэтому

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

Значит, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

9. Признаки параллелограмма

Первый признак

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство. Пусть \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\). Проведём диагональ \(AC\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

\[ \angle BCA=\angle DAC. \]

Это накрест лежащие углы, значит,

\[ BC\parallel AD. \]

Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Второй признак

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть

\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]

После проведения диагонали \(AC\) треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны, откуда

\[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Третий признак

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Доказательство. Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\), причём

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

Вертикальные углы равны, поэтому треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны. Отсюда

\[ \angle BAO=\angle DCO, \]

значит,

\[ AB\parallel CD. \]

Аналогично из равенства треугольников \(AOD\) и \(COB\) получаем

\[ AD\parallel BC. \]

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

10

Трапеция — это четырёхугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

11

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. В ней два прямых угла.

12

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Так как соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), все углы прямоугольника прямые.

13

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BAD\).

В них:

\[ AB — \text{общая сторона}, \]

\[ BC=AD, \]

\[ \angle ABC=\angle BAD=90^\circ. \]

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

\[ AC=BD. \]

Диагонали прямоугольника равны.

14

Пусть в параллелограмме \(ABCD\)

\[ AC=BD. \]

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BAD\). В них:

\[ AB — \text{общая сторона}, \]

\[ BC=AD, \]

\[ AC=BD. \]

Треугольники равны по трём сторонам, поэтому

\[ \angle ABC=\angle BAD. \]

Эти углы — соседние углы параллелограмма, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Так как они равны, каждый из них равен \(90^\circ\).

Следовательно, параллелограмм является прямоугольником.

15

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

16

Пусть \(ABCD\) — ромб, а \(O\) — точка пересечения его диагоналей.

Так как ромб является параллелограммом,

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

Кроме того,

\[ AB=BC. \]

Треугольники \(AOB\) и \(COB\) равны по трём сторонам:

\[ AO=OC,\quad BO — \text{общая},\quad AB=BC. \]

Значит,

\[ \angle AOB=\angle BOC. \]

Эти углы в сумме дают \(180^\circ\), поэтому каждый равен \(90^\circ\). Следовательно,

\[ AC\perp BD. \]

Чтобы доказать, что диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам, рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(AOD\):

\[ AB=AD,\qquad BO=OD,\qquad AO — \text{общая сторона}. \]

Треугольники равны, значит,

\[ \angle BAO=\angle OAD. \]

Следовательно, \(AC\) делит угол \(A\) пополам. Аналогично диагонали ромба делят пополам все его углы.

17

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Основные свойства квадрата:

• все стороны равны;
• все углы прямые;
• противоположные стороны параллельны;
• диагонали равны;
• диагонали перпендикулярны;
• диагонали делятся точкой пересечения пополам;
• диагонали делят углы квадрата пополам.

18. Признаки квадрата

Первый признак

Если прямоугольник имеет равные соседние стороны, то он является квадратом.

Доказательство. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Если

\[ AB=BC, \]

то

\[ AB=BC=CD=DA. \]

Все углы прямоугольника прямые, следовательно, это квадрат.

Второй признак

Если ромб имеет один прямой угол, то он является квадратом.

Доказательство. В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\). Если один угол равен \(90^\circ\), то все углы равны \(90^\circ\). Значит, ромб является квадратом.

Также квадратом является:

• ромб с равными диагоналями;
• прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.

19. Признаки ромба

Первый признак

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Доказательство. Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём

\[ AC\perp BD. \]

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам,

\[ AO=OC. \]

Прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(COB\) имеют общий катет \(BO\) и равные катеты \(AO\) и \(OC\). Поэтому они равны, откуда

\[ AB=BC. \]

У параллелограмма противоположные стороны равны, значит, все четыре стороны равны. Следовательно, это ромб.

Второй признак

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то параллелограмм является ромбом.

Доказательство. Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам:

\[ \angle DAC=\angle CAB. \]

Так как \(AD\parallel BC\), то

\[ \angle DAC=\angle BCA. \]

Следовательно,

\[ \angle CAB=\angle BCA. \]

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому

\[ AB=BC. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, все стороны равны. Следовательно, \(ABCD\) — ромб.

20

Две точки называются симметричными относительно точки \(O\), если точка \(O\) является серединой отрезка, соединяющего эти точки.

То есть для точек \(A\) и \(A'\):

\[ OA=OA', \]

а точки \(A,O,A'\) лежат на одной прямой.

21

Фигура называется симметричной относительно точки \(O\), если для каждой её точки симметричная ей относительно \(O\) точка также принадлежит этой фигуре.

Точка \(O\) называется центром симметрии фигуры.

22

а) Фигуры с осевой симметрией:

• равнобедренный треугольник;
• прямоугольник;
• круг;
• квадрат.

б) Фигуры с центральной симметрией:

• параллелограмм;
• прямоугольник;
• ромб;
• квадрат;
• круг.

в) Фигуры и с осевой, и с центральной симметрией:

• прямоугольник;
• ромб;
• квадрат;
• круг.