Номера 393 395
Вычисление квадратных корней
Мне нужно вычислить несколько квадратных корней для упражнения 395. Вычисления включают выражения вроде √(11^4) и √(4^6). Я разберу каждое из них, следя за правильным форматированием. Также необходимо вычислить корни отрицательных и положительных чисел, например √((-3)^6) и √((-6)^4). Кроме того, я рассматриваю комбинации оснований, такие как √(2^8 · 3^2) и √(3^4 · 5^6). Приступим к этим вычислениям и убедимся, что всё аккуратно оформлено!
Вычисление квадратных корней
Я разбираю различные квадратные корни и способы упростить их выражение. Например, sqrt(11^4) равно |11^2|, то есть 121. Аналогично, sqrt(4^6) упрощается до 64. Вычисление для отрицательных оснований, например sqrt((-3)^6), даёт 27, а sqrt((-6)^4) равно 36. Затем я рассматриваю выражения вроде sqrt(2^8 * 3^2) для получения необходимых значений. Мне нужно уточнить обозначения и убедиться, что все результаты представлены точно и понятно.
Уточнение для отрицательных оснований
Мне нужно упомянуть важность абсолютных величин при работе с отрицательными основаниями. Например, sqrt{(-3)^6} равно 27, что можно записать как \sqrt{[(-3)^3]^2}. Важно сформулировать эту информацию доступно. Я позабочусь о том, чтобы объяснение было ясным и кратким. После основного ответа, если будет логичный следующий шаг, я добавлю только один дополнительный пункт, чтобы сохранить упорядоченность.
Объяснение квадратных корней и произведений
Мне нужно объяснить соотношение для квадратного корня: \(\sqrt{x^{2k}} = |x^k|\), а если \(x > 0\), то это просто \(x^k\). Для конкретных вычислений:
a) \(\sqrt{11^4} = |121| = 121\);
b) \(\sqrt{4^6} = 64\);
c) \(\sqrt{(-3)^6} = 27\);
d) \(\sqrt{(-6)^4} = 36\).
При умножении \(\sqrt{2^8 \cdot 3^2}\) упрощается до \(2^4 \cdot 3\). Я также хочу составить краткие ответы для пользователя, подробно указав вычисления и шаги, но без дополнительных ненужных ответов.
Краткий ответ
№ 393:
а) \(2+\sqrt3\);
б) \(\sqrt5-1\);
в) \(\sqrt3+\sqrt2\);
г) \(\sqrt2-1\).
№ 395:
а) \(121\);
б) \(64\);
в) \(27\);
г) \(36\);
д) \(48\);
е) \(1125\);
ж) \(112\);
з) \(675\);
и) \(8000\).
№ 393
Используем формулу:
\[ (a\pm b)^2=a^2+b^2\pm2ab. \]
Нужно представить выражение под корнем как квадрат.
а)
\[ 7+4\sqrt3=4+3+2\cdot2\cdot\sqrt3=(2+\sqrt3)^2. \]
Значит,
\[ \sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3. \]
б)
\[ 6-2\sqrt5=5+1-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2. \]
\[ \sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1. \]
в)
\[ 5+2\sqrt6=3+2+2\sqrt6=(\sqrt3+\sqrt2)^2. \]
\[ \sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2. \]
г) Так как \(\sqrt8=2\sqrt2\),
\[ 3-\sqrt8=3-2\sqrt2=2+1-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2. \]
\[ \sqrt{3-\sqrt8}=\sqrt2-1. \]
Во всех случаях выбранные выражения положительны, поэтому знак модуля не нужен.
№ 395
Используем свойство:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\sqrt{11^4}=\sqrt{(11^2)^2}=121;\\ \text{б)}\quad &\sqrt{4^6}=\sqrt{(4^3)^2}=64;\\ \text{в)}\quad &\sqrt{(-3)^6}=\sqrt{\left((-3)^3\right)^2}=27;\\ \text{г)}\quad &\sqrt{(-6)^4}=\sqrt{\left((-6)^2\right)^2}=36. \end{aligned} \]
Для произведения степеней корень извлекаем из каждого множителя:
\[ \begin{aligned} \text{д)}\quad &\sqrt{2^8\cdot3^2}=2^4\cdot3=16\cdot3=48;\\ \text{е)}\quad &\sqrt{3^4\cdot5^6}=3^2\cdot5^3=9\cdot125=1125;\\ \text{ж)}\quad &\sqrt{7^2\cdot2^8}=7\cdot2^4=7\cdot16=112;\\ \text{з)}\quad &\sqrt{3^6\cdot5^4}=3^3\cdot5^2=27\cdot25=675;\\ \text{и)}\quad &\sqrt{8^4\cdot5^6}=8^2\cdot5^3=64\cdot125=8000. \end{aligned} \]
Проверка: все полученные числа неотрицательны, как и должно быть для значений квадратного корня.
Обсуждение
2 сообщенияНомер 397
№ 397
Вычислим квадратные корни:
\[ \sqrt{2304}=\sqrt{48^2}=48; \]
\[ \sqrt{18\,225}=\sqrt{135^2}=135; \]
\[ \sqrt{254\,016}=\sqrt{504^2}=504. \]
Ответ: а) \(48\); б) \(135\); в) \(504\).
