сформулируй и докажи утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Краткий ответ.
Признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и один катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Пусть \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) — прямоугольные, причём прямые углы находятся при вершинах \(C\) и \(C_1\).

Пусть:

\[ AB=A_1B_1 \]

— равные гипотенузы, и

\[ AC=A_1C_1 \]

— равные катеты.

По теореме Пифагора:

\[ BC^2=AB^2-AC^2, \]

\[ B_1C_1^2=A_1B_1^2-A_1C_1^2. \]

Так как \(AB=A_1B_1\) и \(AC=A_1C_1\), то

\[ BC^2=B_1C_1^2. \]

Длины сторон положительны, значит,

\[ BC=B_1C_1. \]

Таким образом, у треугольников попарно равны все три стороны:

\[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1. \]

Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по трём сторонам. Признак доказан.

Идея: равенство гипотенузы и одного катета позволяет по теореме Пифагора найти и второй катет, поэтому треугольники оказываются равными по трём сторонам.