остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и ВЕ, Н — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла АСВ, если известно, что ВН = АС и угол САВ равен 57° .

Ответ: \(\boxed{78^\circ}\).

Обозначим: \[ \angle ABC=B,\qquad \angle ACB=C. \] Из условия: \[ \angle CAB=57^\circ. \]

Так как \(BH\perp AC\), \(AH\perp BC\), то в треугольнике \(ABH\): \[ \angle BAH=90^\circ-B,\qquad \angle AHB=180^\circ-C. \]

По теореме синусов: \[ BH=\frac{AB\sin(90^\circ-B)}{\sin C} =\frac{AB\cos B}{\sin C}. \]

В треугольнике \(ABC\) также по теореме синусов: \[ AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}. \]

По условию \(BH=AC\), значит: \[ \frac{AB\cos B}{\sin C} = \frac{AB\sin B}{\sin C}, \] откуда \[ \cos B=\sin B. \]

Так как треугольник остроугольный, \(B=45^\circ\). Тогда: \[ C=180^\circ-57^\circ-45^\circ=78^\circ. \]

Следовательно, \[ \boxed{\angle ACB=78^\circ}. \]