Физика, задача 554 Найти скорость и кинетическую энергию движения молекул водорода при температуре 27°

Используется среднеквадратичная скорость, потому что она непосредственно связана со средней кинетической энергией молекул.

1. Молекулы движутся хаотично

Направления движения молекул различны, поэтому их средняя векторная скорость равна нулю:

\[ \langle \vec v\rangle=0. \]

Но это не означает, что молекулы неподвижны. У каждой есть некоторый модуль скорости.

2. Кинетическая энергия зависит от квадрата скорости

Для одной молекулы:

\[ E_k=\frac{mv^2}{2}. \]

Для множества молекул рассматривают среднее значение:

\[ \langle E_k\rangle=\frac{m\langle v^2\rangle}{2}. \]

Вводят среднеквадратичную скорость:

\[ v_{\text{ср.кв.}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}. \]

Тогда формула энергии принимает удобный вид:

\[ \langle E_k\rangle=\frac{mv_{\text{ср.кв.}}^2}{2}. \]

3. Связь с температурой

Из молекулярно-кинетической теории:

\[ \langle E_k\rangle=\frac32 kT. \]

Приравниваем:

\[ \frac{mv_{\text{ср.кв.}}^2}{2}=\frac32 kT. \]

Отсюда:

\[ v_{\text{ср.кв.}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}. \]

Именно поэтому в предыдущем решении получилось:

\[ v_{\text{ср.кв.}}\approx1{,}93\cdot10^3\ \text{м/с}. \]

Важно: это не скорость каждой конкретной молекулы. Молекулы имеют разные скорости, а \(1{,}93\cdot10^3\ \text{м/с}\) — их среднеквадратичная скорость, связанная со средней кинетической энергией.

В разделе «Дано» записываем только то, что известно из условия:

\[ \begin{array}{ll} \text{Дано:} & \mathrm{H_2}\text{ — водород},\\ & t=27^\circ\mathrm{C}. \end{array} \]

Но в формулах молекулярной физики температура должна быть в кельвинах, поэтому сразу переводим:

\[ T=t+273=27+273=300\ \mathrm{К}. \]

Запись полностью:

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\mathrm{H_2},\\ &t=27^\circ\mathrm{C},\\ &T=300\ \mathrm{К}. \end{aligned}} \]

Найти:

\[ v_{\text{ср.кв.}}-? \qquad E_k-? \]

Масса одной молекулы водорода в условии не дана — её берём из справочных данных:

\[ m_0(\mathrm{H_2})\approx3{,}34\cdot10^{-27}\ \text{кг}. \]

Здесь нужна масса одной молекулы водорода, а не масса всего газа.

Молекула водорода имеет формулу \(\mathrm{H_2}\), то есть состоит из двух атомов водорода.

Масса одного атома водорода примерно:

\[ m_{\mathrm H}\approx1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{кг}. \]

Поэтому масса одной молекулы:

\[ m_0=2m_{\mathrm H} =2\cdot1{,}67\cdot10^{-27} \approx3{,}34\cdot10^{-27}\ \text{кг}. \]

В разделе «Дано» можно записать:

\[ m_0(\mathrm{H_2})=3{,}34\cdot10^{-27}\ \text{кг}. \]

Важно: \(2\ \text{г/моль}\) — это молярная масса водорода, а \(3{,}34\cdot10^{-27}\ \text{кг}\) — масса одной молекулы.

Речь о формуле

\[ v_{\text{ср.кв.}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}. \]

Это формула среднеквадратичной скорости молекул. Она получается из двух формул:

\[ E_k=\frac{m_0v_{\text{ср.кв.}}^2}{2} \]

— кинетическая энергия молекулы и

\[ E_k=\frac32 kT \]

— средняя кинетическая энергия молекулы при температуре \(T\).

Приравниваем их:

\[ \frac{m_0v_{\text{ср.кв.}}^2}{2}=\frac32 kT. \]

Теперь постепенно преобразуем:

\[ m_0v_{\text{ср.кв.}}^2=3kT, \]

\[ v_{\text{ср.кв.}}^2=\frac{3kT}{m_0}, \]

\[ \boxed{v_{\text{ср.кв.}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}}. \]

Слово «откуда» означает: «из предыдущего равенства получаем следующую формулу». Это не новая неизвестная формула, а результат преобразования.

Ответ:

\[ \boxed{v_{\text{ср.кв.}}\approx1{,}93\cdot10^3\ \text{м/с}} \]

\[ \boxed{E_k\approx6{,}2\cdot10^{-21}\ \text{Дж}} \]

где \(E_k\) — средняя кинетическая энергия одной молекулы водорода при \(27^\circ\text{C}\).

Да, в этой задаче лучше указать именно среднеквадратичную скорость, потому что молекулы движутся с разными скоростями.

Правильно записать в ответе:

\[ \boxed{v_{\text{ср.кв.}} \approx 1{,}93\cdot10^3\ \text{м/с}} \]

Полностью писать это слово в каждой строке не обязательно: достаточно один раз пояснить, что \(v_{\text{ср.кв.}}\) — среднеквадратичная скорость. Слово «квадратичная» отдельно не используется — правильно среднеквадратичная.

На уроке можно объяснить так:

Температура газа \(27^\circ\text{C}\), то есть \(T=300\ \text{К}\).
Молекулы движутся хаотично и имеют разные скорости, поэтому одной одинаковой скорости у них нет. В задаче находят среднеквадратичную скорость.

Средняя кинетическая энергия одной молекулы связана с температурой формулой: \[ > E_k=\frac32 kT. > \] С другой стороны, \[ > E_k=\frac{m_0v_{\text{ср.кв.}}^2}{2}. > \] Приравниваем эти выражения: \[ > \frac{m_0v_{\text{ср.кв.}}^2}{2}=\frac32 kT, > \] поэтому \[ > v_{\text{ср.кв.}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}. > \] Для молекулы водорода \(m_0=3{,}34\cdot10^{-27}\ \text{кг}\). После подстановки получаем: \[ > v_{\text{ср.кв.}}\approx1{,}93\cdot10^3\ \text{м/с}. > \] Средняя кинетическая энергия: \[ > E_k\approx6{,}2\cdot10^{-21}\ \text{Дж}. > \]

Главная фраза: «Так как молекулы имеют разные скорости, находим не скорость отдельной молекулы, а их среднеквадратичную скорость».