Реши задание на изображении

Краткий ответ: \(33\).

Пусть \(q\) — число муравьиных королев, а \(o\) — число обычных муравьёв.

Всего муравьёв:

\[ q+o=1001. \]

Королева занимает \(3\times3=9\) комнат, поэтому всего занято комнат:

\[ 9q+o=n^2, \]

где \(n\) — длина стороны муравейника.

Вычтем первое равенство из второго:

\[ n^2-1001=8q. \]

Значит,

\[ n^2\equiv1001\equiv1\pmod 8. \]

Квадрат числа даёт остаток \(1\) при делении на \(8\) только для нечётного \(n\). Кроме того,

\[ n^2\ge1001 \quad\Rightarrow\quad n\ge32. \]

Наименьшее нечётное число, не меньшее \(32\), — \(33\).

Проверка:

\[ q=\frac{33^2-1001}{8} =\frac{1089-1001}{8}=11, \]

\[ o=1001-11=990. \]

Комнаты:

\[ 11\cdot9+990=99+990=1089=33^2. \]

Значит, такой муравейник возможен, и наименьшая длина его стороны — \(\boxed{33}\).