Реши задание на изображении
На фото полностью видно упражнение 11.4.
Краткий ответ
- \(4\)
- \(\dfrac{15}{4}\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(\dfrac{26}{81}\)
- \(e^4-1\)
- \(1\)
- \(\dfrac{38}{3}\)
- \(0\)
Решение
Используем формулу Ньютона—Лейбница:
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \]
где \(F'(x)=f(x)\).
\[ \int_{-4}^{-2}2\,dx =2x\Big|_{-4}^{-2} =-4-(-8)=4. \]
\[ \int_1^2x^3\,dx =\frac{x^4}{4}\Big|_1^2 =\frac{16-1}{4} =\frac{15}{4}. \]
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx =\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} =1-0=1. \]
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2x} =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sin^2x}. \]
Так как
\[ \int\frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x, \]
то
\[ -\cot\frac{\pi}{2} +\cot\frac{\pi}{4} =0+1=1. \]
\[ \int_1^3\frac{dx}{x^4} =\int_1^3x^{-4}\,dx =-\frac{1}{3x^3}\Big|_1^3 =-\frac1{81}+\frac13 =\frac{26}{81}. \]
\[ \int_0^4e^x\,dx =e^x\Big|_0^4 =e^4-1. \]
\[ \int_1^e\frac{dx}{x} =\ln x\Big|_1^e =\ln e-\ln1=1. \]
\[ \int_4^9\sqrt{x}\,dx =\int_4^9x^{1/2}\,dx =\frac23x^{3/2}\Big|_4^9. \]
\[ \frac23\left(9^{3/2}-4^{3/2}\right) =\frac23(27-8) =\frac{38}{3}. \]
\[ \int_{-1}^1(1-5x^4)\,dx =(x-x^5)\Big|_{-1}^1. \]
\[ (1-1)-\bigl(-1-(-1)\bigr)=0. \]
Проверка: в девятом интеграле функция \(1-5x^4\) чётная, а её интеграл на отрезке \([-1;1]\) действительно равен \(0\).
Внизу начинается упражнение 11.5, но его продолжение на изображении обрезано.
