реши номер 157
Краткий ответ:
- \(f'(x)=2\)
- \(f'(x)=5\)
- \(f'(x)=-6x\)
- \(f'(x)=6x+5\)
Используем определение производной:
\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \]
1) \(f(x)=2x+3\)
\[ f(x+h)=2(x+h)+3=2x+2h+3. \]
\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2x+2h+3-(2x+3)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2h}{h}=2. \]
2) \(f(x)=5x-6\)
\[ f(x+h)=5x+5h-6. \]
\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{5h}{h}=5. \]
3) \(f(x)=-3x^2+2\)
\[ f(x+h)=-3(x+h)^2+2 =-3x^2-6xh-3h^2+2. \]
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}\frac{-6xh-3h^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(-6x-3h)=-6x. \end{aligned} \]
4) \(f(x)=3x^2+5x\)
\[ f(x+h)=3(x+h)^2+5(x+h) =3x^2+6xh+3h^2+5x+5h. \]
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}\frac{6xh+3h^2+5h}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(6x+3h+5)=6x+5. \end{aligned} \]
Проверка: результаты совпадают с правилами \((ax+b)'=a\) и \((ax^2+bx)'=2ax+b\).
Обсуждение
6 сообщенийреши номер 157
№ 157
Используем определение производной:
\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \]
- \(\;f(x)=2x+3\)
\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2(x+h)+3-(2x+3)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2h}{h}=\boxed{2}. \]
- \(\;f(x)=5x-6\)
\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{5(x+h)-6-(5x-6)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{5h}{h}=\boxed{5}. \]
- \(\;f(x)=-3x^2+2\)
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}\frac{-3(x+h)^2+2-(-3x^2+2)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{-6xh-3h^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(-6x-3h)=\boxed{-6x}. \end{aligned} \]
- \(\;f(x)=3x^2+5x\)
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)^2+5(x+h)-(3x^2+5x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{6xh+3h^2+5h}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(6x+3h+5)=\boxed{6x+5}. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{1)\ 2;\qquad 2)\ 5;\qquad 3)\ -6x;\qquad 4)\ 6x+5.} \]
реши номер 158
Пришли, пожалуйста, фото или текст условия № 158 — самого задания в сообщении нет.
реши номер 161
№ 161
Мгновенная скорость равна производной закона движения:
\[ v(t)=s'(t). \]
- \[ s(t)=\frac{3}{2}t^2 \]
\[ v(t)=s'(t)=\frac{3}{2}\cdot 2t=\boxed{3t}. \]
- \[ s(t)=5t^2 \]
\[ v(t)=s'(t)=5\cdot 2t=\boxed{10t}. \]
Ответ:
\[ \boxed{1)\ v(t)=3t;\qquad 2)\ v(t)=10t.} \]
