номер 163 б
Решение выражения на русском
Мне нужно дать ответ на русском языке и написать его кратко. Задача заключается в доказательстве того, что выражение не зависит от переменных. Выражение содержит сложную дробь, которая, вероятно, упрощается до 0.
После разложения на множители и упрощения я предполагаю, что при определённых ограничениях на переменные результат равен -1. Условия области определения указывают, что x не может быть равен ±y. Я позабочусь о том, чтобы ответ был ясным и прямым, эффективно учитывая все эти математические аспекты!
\[ \begin{aligned} &\frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)\\ &=\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}\\ &=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} =-1. \end{aligned} \]
Ответ: \(\boxed{-1}\), при \(x\ne y,\ x\ne -y\).
Обсуждение
2 сообщенияСделай этот же пример по действиям
Конечно, распишем по действиям:
\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right) \]
1. Разложим на множители:
\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y), \]
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Тогда:
\[ \frac{y}{x-y} -\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \left(\frac{x}{(x-y)^2} -\frac{y}{(x-y)(x+y)}\right). \]
2. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\[ \frac{x}{(x-y)^2} -\frac{y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}. \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ x(x+y)-y(x-y) =x^2+xy-xy+y^2=x^2+y^2. \]
Значит,
\[ \frac{x}{(x-y)^2} -\frac{y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]
3. Подставим:
\[ \frac{y}{x-y} -\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]
4. Сократим дробь:
\[ \frac{x(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} {(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)} = \frac{x}{x-y}. \]
Получаем:
\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y}. \]
Так как \(y-x=-(x-y)\), то
\[ \frac{y-x}{x-y}=-1. \]
\[ \boxed{-1} \]
ОДЗ: \(x\ne y,\;x\ne -y\).
