речь идёт о Лермонтове

Краткий ответ:

1. Тарханы, бабушка Елизавета Алексеевна Арсеньева.
2. «Бородино», Кавказ.

Почему так:

• После смерти матери Михаила Лермонтова воспитывала его бабушка. Детство он провёл в имении Тарханы Пензенской губернии.
• В стихотворении «Бородино» рассказчиком является старый солдат, вспоминающий сражение 1812 года.
• За вольнолюбивые стихи Лермонтова дважды отправляли в ссылку на Кавказ. В Пятигорске он погиб на дуэли в 1841 году.

Проверка:
«в имении Тарханы», «воспитывала бабушка», «называется „Бородино“», «сослан на Кавказ».