Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. \(y=x^2+4x-5\)
а)
\[
f(-3)=-8,\qquad f(0)=-5,\qquad f(1)=0.
\]
б)
\[
\begin{aligned}
y=-8&\Rightarrow x=-3;\,-1,\\
y=-5&\Rightarrow x=-4;\,0,\\
y=0&\Rightarrow x=-5;\,1.
\end{aligned}
\]
в) Наименьшее значение:
\[
y_{\min}=-9.
\]
г) Функция убывает на \((-\infty;-2)\), возрастает на \((-2;+\infty)\).
д)
\[
y>0\quad при\quad x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty),
\]
\[
y<0\quad при\quad x\in(-5;1).
\]
2. Решения систем
\[ (-3;3),\quad (0;0). \]
\[ (-2;-5),\quad \left(1;\frac52\right),\quad (4;1). \]
3. Количество корней
- \(\boxed{1}\) корень.
- \(\boxed{2}\) корня.
Ключевые шаги
1. Построение графика
Выделим полный квадрат:
\[ y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9. \]
Это парабола, ветви направлены вверх, вершина:
\[ (-2;-9), \]
ось симметрии: \(x=-2\).
Для построения можно отметить точки:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-5&-4&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y&0&-5&-8&-9&-8&-5&0 \end{array} \]
Нули функции находятся из уравнения:
\[ x^2+4x-5=0, \] \[ (x+5)(x-1)=0. \]
Поэтому график пересекает ось \(Ox\) в точках \((-5;0)\) и \((1;0)\). Так как ветви направлены вверх, функция отрицательна между корнями и положительна вне них.
2. Пересечения графиков
Первая система
\[ \begin{cases} y=-x^2-4x,\\ y=(x+1)^2-1. \end{cases} \]
Приравняем правые части:
\[ -x^2-4x=x^2+2x, \]
\[ -2x(x+3)=0. \]
Отсюда:
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=-3. \]
Соответствующие значения \(y\):
\[ x=0\Rightarrow y=0, \] \[ x=-3\Rightarrow y=3. \]
Точки пересечения: \((0;0)\) и \((-3;3)\).
Вторая система
\[ \begin{cases} y=-0{,}5x^2+2x+1,\\ y=\dfrac5{x+1}. \end{cases} \]
Здесь \(x\ne-1\). Приравняем функции:
\[ -0{,}5x^2+2x+1=\frac5{x+1}. \]
После умножения и упрощения:
\[ x^3-3x^2-6x+8=0, \]
\[ (x-1)(x-4)(x+2)=0. \]
Значит,
\[ x=1,\quad x=4,\quad x=-2. \]
Подставляя их в функции, получаем точки:
\[ \left(1;\frac52\right),\quad (4;1),\quad (-2;-5). \]
3. Количество корней уравнений
В первом уравнении сравниваются графики
\[ y=-2x^2-4x+1 \quad\text{и}\quad y=\frac2x. \]
На графике они имеют одну общую точку, поэтому уравнение имеет 1 корень. Приблизительно:
\[ x\approx-2{,}385. \]
Во втором уравнении:
\[ 2x^2-6x+1=x-2, \]
\[ 2x^2-7x+3=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=25>0. \]
Два различных корня:
\[ x=\frac{7\pm5}{4}, \]
\[ x=\frac12,\qquad x=3. \]
Значит, корней 2.
