Сделай пожалуйста с графическим решением

Краткий ответ

1. Для \(y=x^2+4x-5\):

• \(f(-3)=-8,\quad f(0)=-5,\quad f(1)=0\);
• при \(y=-8:\ x=-3,-1\);
• при \(y=-5:\ x=-4,0\);
• при \(y=0:\ x=-5,1\);
• наименьшее значение: \(-9\);
• убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\);
• \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
• \(y<0\) при \(x\in(-5;1)\).

2.

\[ \begin{cases} y=-x^2-4x,\\ y=(x+1)^2-1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad (-3;3),\ (0;0). \]

\[ \begin{cases} y=-0{,}5x^2+2x+1,\\ y=\dfrac5{x+1} \end{cases} \quad\Rightarrow\quad (-2;-5),\ \left(1;\dfrac52\right),\ (4;1). \]

3.

• \(-2x^2-4x+1=\dfrac2x\) — 1 корень;
• \(2x^2-6x+1=x-2\) — 2 корня.

---

1. Построение графика

Преобразуем функцию:

\[ y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9. \]

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:

\[ A(-2;-9), \]

ось симметрии:

\[ x=-2. \]

Для построения можно нанести точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-5&-4&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y&0&-5&-8&-9&-8&-5&0 \end{array} \]

После нанесения точек соединяем их плавной параболой.

а) Значения функции

\[ f(-3)=(-3)^2+4(-3)-5=-8; \]

\[ f(0)=-5; \]

\[ f(1)=1+4-5=0. \]

б) Значения аргумента

Проводим горизонтальные прямые \(y=-8\), \(y=-5\), \(y=0\) и смотрим абсциссы точек пересечения.

\[ \begin{array}{c|c} y&x\\ \hline -8&-3,\ -1\\ -5&-4,\ 0\\ 0&-5,\ 1 \end{array} \]

в) Наименьшее значение

Самая нижняя точка параболы — вершина \((-2;-9)\), поэтому

\[ \boxed{y_{\min}=-9}. \]

г) Возрастание и убывание

До вершины парабола спускается, после вершины поднимается:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;-2]}; \]

\[ \boxed{\text{возрастает на }[-2;+\infty)}. \]

д) Знаки функции

Нули функции:

\[ x=-5,\qquad x=1. \]

Так как ветви параболы направлены вверх:

\[ \boxed{y>0\text{ при }x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)}; \]

\[ \boxed{y<0\text{ при }x\in(-5;1)}. \]

---

2. Решение систем графически

Первая система

\[ \begin{cases} y=-x^2-4x,\\ y=(x+1)^2-1. \end{cases} \]

Приведём функции к удобному виду:

\[ y_1=-(x+2)^2+4, \]

это парабола с вершиной \((-2;4)\);

\[ y_2=(x+1)^2-1, \]

это парабола с вершиной \((-1;-1)\).

Для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-4&-3&-2&-1&0\\ \hline y_1&0&3&4&3&0 \end{array} \]

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y_2&3&0&-1&0&3 \end{array} \]

Графики пересекаются в точках:

\[ \boxed{(-3;3)\text{ и }(0;0)}. \]

Ответ:

\[ \boxed{(x;y)=(-3;3),\ (0;0)}. \]

---

Вторая система

\[ \begin{cases} y=-0{,}5x^2+2x+1,\\ y=\dfrac5{x+1}. \end{cases} \]

Первая функция:

\[ y=-0{,}5(x-2)^2+3. \]

Это парабола с вершиной \((2;3)\).

Для гиперболы

\[ y=\frac5{x+1} \]

вертикальная асимптота:

\[ x=-1, \]

горизонтальная асимптота:

\[ y=0. \]

Нанесём несколько точек:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline -0{,}5x^2+2x+1&-5&-1{,}5&1&2{,}5&3&2{,}5&1 \end{array} \]

Для гиперболы:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&0&1&4\\ \hline \dfrac5{x+1}&-5&5&2{,}5&1 \end{array} \]

Графики пересекаются при

\[ x=-2,\quad x=1,\quad x=4. \]

Координаты точек:

\[ \boxed{(-2;-5),\quad \left(1;\frac52\right),\quad (4;1)}. \]

Проверка абсцисс пересечения:

\[ -0{,}5x^2+2x+1=\frac5{x+1}, \]

\[ (x-1)(x-4)(x+2)=0. \]

---

3. Количество корней графически

Первое уравнение

\[ -2x^2-4x+1=\frac2x. \]

Строим графики:

\[ y_1=-2x^2-4x+1=-2(x+1)^2+3, \]

\[ y_2=\frac2x,\qquad x\ne0. \]

Парабола и гипербола имеют одну общую точку, примерно

\[ (-2{,}385;\,-0{,}838). \]

Следовательно,

\[ \boxed{1\text{ корень}}. \]

---

Второе уравнение

\[ 2x^2-6x+1=x-2. \]

Строим параболу

\[ y=2x^2-6x+1 \]

и прямую

\[ y=x-2. \]

Они пересекаются в двух точках. Для проверки:

\[ 2x^2-6x+1=x-2, \]

\[ 2x^2-7x+3=0, \]

\[ (2x-1)(x-3)=0. \]

Отсюда

\[ x=\frac12,\qquad x=3. \]

Значит,

\[ \boxed{2\text{ корня}}. \]