Номер 234
Разложение рациональных уравнений на множители
Я анализирую некоторые рациональные уравнения, приравненные к нулю. Сначала для уравнения а я раскладываю числитель и знаменатель на множители, получая корни и ограничения области определения. Ключевым решением оказывается ±sqrt(2/5) после исключения y=3.
Переходя к б, после разложения на множители я получаю y=4 как допустимое решение, исключая ±1/√3 из-за ограничений области определения.
Для в я получаю корни ±1/√3, исключая -8.
Наконец, в д получается x=4 как допустимое решение после исключения ±√6. Всё выглядит правильно!
Решение уравнений с ограничениями
Я решаю несколько уравнений и должен внимательно учитывать области определения. Для первого уравнения я нахожу, что \(y\) не может быть равен 3 или -3, и определяю корни, понимая, что нельзя сокращать до учёта ограничений области определения. Во втором уравнении я нахожу корни, исключая общие корни с учётом знаменателя. Наконец, я получаю корни кубических уравнений и помню об исключённых значениях области определения. Для точного решения крайне важно чётко указать ограничения!
Проверка результатов и упрощений
Я проверяю результаты и рассматриваю подстановки в дроби. Для части а при корнях \(y^2 = 2/5\) я вижу, что знаменатель равен -43/5, то есть не равен нулю, поэтому решение допустимо. В части б при \(y = 4\) числитель равен нулю, а знаменатель равен 2303, то есть не равен нулю. Для части в при \(\pm1/\sqrt{3}\) знаменатель также не равен нулю. Похоже, всё хорошо проверяется!
Составление таблицы проверки
Итак, я рассматриваю вычисление при x=4: числитель равен 64-64-24+24, то есть 0, а знаменатель равен 64-24, то есть 40, что не равно нулю. Думаю, здесь была бы полезна краткая таблица проверки. Пользователь спрашивает о результате проверки, и поскольку знаменатель допустим, все составляющие верны. Я подумываю добавить русскую подсказку для пользователя, например: «Попробуй сам разложить на множители уравнение…», чтобы поддержать интерактивность. Это сохранит интерактивный характер ответа!
Ответ на русском языке с LaTeX
Я планирую ответить на русском языке, используя LaTeX для удобства чтения, но хочу изложить всё ясно и без лишних подробностей. Мне нужно упомянуть разложение на множители и область определения, начав примерно так: Ответ: а) \(y=...\), б)... Затем я введу основные принципы и необходимые шаги.
Рассматривая числители и знаменатели в задачах, я повторно проверяю первый многочлен \(5y^3 -15y^2 -2y+6\), который выглядит верно. Затем для второй части я подтверждаю, что числитель равен \(3y^3 - 12y^2 - y +4\), а знаменатель — \(9y^4-1\).
Что касается части в, я также нахожу, что числитель \(6x^3+48x^2-2x-16\) верен. Наконец, для части д я подтверждаю, что числитель \(x^3-4x^2-6x+24\) правильный. Я проверяю, чтобы знаменатель в формуле был указан корректно и соответствовал алгебраическим закономерностям.
Ответ:
а) \(y=\pm\sqrt{\frac25}\);
б) \(y=4\);
в) \(x=\pm\frac1{\sqrt3}\);
г) \(x=4\).
Принцип
Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ \frac{A}{B}=0 \Longleftrightarrow A=0,\quad B\ne0. \]
Общие корни числителя и знаменателя нужно исключить.
Решение
а)
\[ \frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0 \]
Разложим на множители:
\[ 5y^3-15y^2-2y+6=(y-3)(5y^2-2), \]
\[ y^2-9=(y-3)(y+3). \]
Знаменатель не равен нулю, поэтому \(y\ne3\) и \(y\ne-3\).
Числитель равен нулю:
\[ (y-3)(5y^2-2)=0. \]
Получаем \(y=3\) или
\[ 5y^2-2=0 \Longrightarrow y^2=\frac25 \Longrightarrow y=\pm\sqrt{\frac25}. \]
Корень \(y=3\) исключаем, поэтому
\[ \boxed{y=\pm\sqrt{\frac25}}. \]
б)
\[ \frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0. \]
\[ 3y^3-12y^2-y+4=(y-4)(3y^2-1), \]
\[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1). \]
Числитель даёт корни:
\[ y=4,\qquad y=\pm\frac1{\sqrt3}. \]
Корни \(y=\pm\frac1{\sqrt3}\) обращают знаменатель в ноль, поэтому их исключаем:
\[ \boxed{y=4}. \]
в)
\[ \frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0. \]
\[ 6x^3+48x^2-2x-16 =2(x+8)(3x^2-1), \]
\[ x^2-64=(x-8)(x+8). \]
Числитель равен нулю при
\[ x=-8 \quad\text{или}\quad 3x^2-1=0. \]
Корень \(x=-8\) запрещён знаменателем. Поэтому
\[ 3x^2=1 \Longrightarrow x=\pm\frac1{\sqrt3}. \]
\[ \boxed{x=\pm\frac1{\sqrt3}}. \]
г)
\[ \frac{x^3-4x^2-6x+24}{x^3-6x}=0. \]
\[ x^3-4x^2-6x+24=(x-4)(x^2-6), \]
\[ x^3-6x=x(x^2-6). \]
Числитель равен нулю при
\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=\pm\sqrt6. \]
Значения \(x=\pm\sqrt6\) запрещены знаменателем, поэтому
\[ \boxed{x=4}. \]
Проверка
Для оставшихся корней знаменатели не равны нулю:
\[ \frac25-9\ne0,\qquad 9\cdot4^4-1\ne0, \]
\[ \frac13-64\ne0,\qquad 4^3-6\cdot4=40\ne0. \]
Значит, ответы верны.
