Реши задание на изображении
Тщательное решение уравнений
Я работаю над решением системы уравнений. Она начинается с y + 1 = 24, что связано с -4x + 3y = 23 и ещё одним уравнением, которое нужно решить сложением. Хорошо, я вижу, что уравнения имеют вид -4x + 3y = 23 и 3x - 4y = -53. Мне нужно исключить переменные, поэтому я умножаю их, чтобы подготовить к сложению. После вычислений я получаю y = 143/7 и x = 67/7, что даёт некоторые дроби. Я ещё раз проверю, нет ли опечаток или ошибок в знаках!
Уточнение уравнений
Я рассматриваю уравнения, приведённые на изображении: 3(y - 1) - 4(x - 1) = 24 и 3(x + 3) - 4(y + 1) = -48. Интересно, есть ли альтернативный способ упростить или сложить эти уравнения, чтобы легче найти значения. Кажется, что, если немного преобразовать их, можно кое-что обнаружить! Давайте рассмотрим разные подходы и попробуем получить правильные значения из этих уравнений.
Проверка вычислений
Я начинаю с умножения первого уравнения на 3, а второго — на 4. Я проверил сложение, и оно приводит меня к уравнению -7y = -143. Похоже, это правильно! Я должен убедиться, что мои шаги на всём протяжении решения были логичными и понятными. Не сделал ли я где-нибудь каких-либо предположений? Продолжим решать относительно y, тщательно проверяя каждый шаг по мере продвижения!
Коротка відповідь:
- Відповідність: 1 – В, 2 – А, 3 – Б.
- Система, що не має розв’язків, — Г.
- \(\boxed{x=\frac{67}{7},\ y=\frac{143}{7}}\).
1. Встановимо відповідність
Система 1: \[ \begin{cases} x=6y,\\ x-2y=4. \end{cases} \] Підставимо \(x=6y\): \[ 6y-2y=4 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1,\quad x=6. \] Отже, \((6;1)\) — В.
Система 2:
\[
\begin{cases}
2x+y=8,\\
-2x+y=4.
\end{cases}
\]
Додаємо рівняння:
\[
2y=12 \Rightarrow y=6.
\]
Тоді \(2x+6=8\), отже \(x=1\).
Пара \((1;6)\) — А.
Система 3: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1,\\ 2x-y=6. \end{cases} \] Перше рівняння помножимо на \(6\): \[ 3x-2y=6. \] Віднімаємо друге рівняння: \[ (3x-2y)-(2x-y)=0 \Rightarrow x-y=0, \] тому \(x=y\). З рівняння \(2x-y=6\): \[ x=6,\quad y=6. \] Отже, \((6;6)\) — Б.
2. Система без розв’язків
Варіант Г: \[ \begin{cases} x+y=5,\\ 3x+3y=11. \end{cases} \] Якщо перше рівняння помножити на \(3\), отримаємо: \[ 3x+3y=15, \] але в системі вказано \(3x+3y=11\). Це суперечність, тому розв’язків немає.
3. Розв’язання методом додавання
\[ \begin{cases} 3(y-1)-4(x-1)=24,\\ 3(x+3)-4(y+1)=-48. \end{cases} \]
Розкриємо дужки: \[ \begin{cases} -4x+3y=23,\\ 3x-4y=-53. \end{cases} \]
Помножимо перше рівняння на \(3\), а друге — на \(4\): \[ \begin{cases} -12x+9y=69,\\ 12x-16y=-212. \end{cases} \]
Додаємо: \[ -7y=-143 \Rightarrow y=\frac{143}{7}. \]
Підставляємо в \(3x-4y=-53\): \[ 3x-4\cdot\frac{143}{7}=-53, \] \[ 3x=\frac{201}{7}\Rightarrow x=\frac{67}{7}. \]
Перевірка: \[ 3\left(\frac{143}{7}-1\right)-4\left(\frac{67}{7}-1\right)=24, \] \[ 3\left(\frac{67}{7}+3\right)-4\left(\frac{143}{7}+1\right)=-48. \] Отже, розв’язок правильний.
Обсуждение
2 сообщенияПояснити, як швидко визначати суперечливу систему?
Суперечлива система — це система, яка не має розв’язків.
Найшвидший спосіб
Зведи рівняння так, щоб коефіцієнти при \(x\) і \(y\) стали однаковими або протилежними. Якщо після додавання чи віднімання отримаєш неправильну рівність, наприклад
\[ 0=4, \]
то система суперечлива.
Приклад
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ 3x+3y=11. \end{cases} \]
Перше рівняння помножимо на \(3\):
\[ 3x+3y=15. \]
А друге рівняння стверджує:
\[ 3x+3y=11. \]
Отже, одна й та сама сума не може одночасно дорівнювати \(15\) і \(11\). Система не має розв’язків.
Запам’ятай
Для системи
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
- коефіцієнти при \(x\) і \(y\) пропорційні, а праві частини — не пропорційні → суперечлива система;
- усе пропорційне → нескінченно багато розв’язків;
- коефіцієнти не пропорційні → один розв’язок.
