Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение задания. Решения:

1. \((x-9)(x+4)<0\)
   \[ x\in(-4;9). \]

2. \((x+10)(x-3)\ge 0\)
   \[ x\in(-\infty;-10]\cup[3;+\infty). \]

3. \(-x^2+4{,}6x-2{,}4<0\), корни \(0{,}6\) и \(4\):
   \[ x\in(-\infty;0{,}6)\cup(4;+\infty). \]

4. \(-3x^2+4x+4>0\), корни \(-\frac23\) и \(2\):
   \[ x\in\left(-\frac23;2\right). \]

5. \(4x(x-4)\le0\)
   \[ x\in[0;4]. \]

6. \((3x-5)(3x+5)>0\)
   \[ x\in\left(-\infty;-\frac53\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right). \]

7. \((2x-3)^2>0\)
   \[ x\in\mathbb R\setminus\left\{\frac32\right\}. \]

8. \((x-7)^2\ge0\)
   \[ x\in\mathbb R. \]

9. \(D=(-2)^2-4\cdot5\cdot1=-16<0\), \(a>0\):
   \[ x\in\mathbb R. \]

10. \((8x-1)^2\le0\)
    \[ x=\frac18. \]

11. \((3x+5)^2<0\)
    \[ \varnothing. \]

12. \(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot4=-7<0\), выражение всегда положительно:
    \[ \varnothing. \]

\(\infty\) — это бесконечность, не обычное число. Она показывает, что значения продолжаются без конца.

Например:

• \((-\infty;9)\) означает \(x<9\) — все числа меньше 9;
• \([3;+\infty)\) означает \(x\ge 3\) — 3 и все числа больше 3;
• \((-\infty;-10]\) означает \(x\le -10\).

Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — что входит. У бесконечности всегда круглая скобка, потому что её нельзя «достичь».

Для параболы \(y=ax^2+bx+c\):

• если \(a>0\), ветви направлены вверх;
• если \(a<0\), ветви направлены вниз;
• абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]

1) \(y=x^2-10x+20\)

\[ a=1>0 \] Ветви направлены вверх.

\[ x_0=-\frac{-10}{2\cdot1}=5, \] \[ y_0=5^2-10\cdot5+20=-5. \]

Ответ: ветви вверх, вершина \(\boxed{(5;-5)}\).

---

2) \(y=-x^2+3x-4\)

\[ a=-1<0 \] Ветви направлены вниз.

\[ x_0=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac32, \] \[ y_0=-\left(\frac32\right)^2+3\cdot\frac32-4=-\frac74. \]

Ответ: ветви вниз, вершина \(\boxed{\left(\frac32;-\frac74\right)}\).

---

3) \(y=0{,}6x^2+7{,}2x+22{,}6\)

\[ a=0{,}6>0 \] Ветви направлены вверх.

\[ x_0=-\frac{7{,}2}{2\cdot0{,}6}=-6, \] \[ y_0=0{,}6\cdot(-6)^2+7{,}2\cdot(-6)+22{,}6=1. \]

Ответ: ветви вверх, вершина \(\boxed{(-6;1)}\).

---

4) \(y=-5x^2-20x+6\)

\[ a=-5<0 \] Ветви направлены вниз.

\[ x_0=-\frac{-20}{2\cdot(-5)}=-2, \] \[ y_0=-5\cdot(-2)^2-20\cdot(-2)+6=26. \]

Ответ: ветви вниз, вершина \(\boxed{(-2;26)}\).

Вот аккуратное оформление решения в тетрадь.

Для квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\)

Координата вершины параболы находится по формуле:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}, \qquad y_{\text{в}}=f(x_{\text{в}}). \]

Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх, если \(a<0\) — вниз.

---

1. \(y=x^2-10x+20\)

Здесь \(a=1,\ b=-10\). Так как \(a>0\), ветви параболы направлены вверх.

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-10}{2\cdot1}=5. \]

\[ y_{\text{в}}=5^2-10\cdot5+20=25-50+20=-5. \]

Ответ: ветви направлены вверх; вершина параболы:

\[ \boxed{(5;-5)}. \]

---

2. \(y=-x^2+3x-4\)

Здесь \(a=-1,\ b=3\). Так как \(a<0\), ветви параболы направлены вниз.

\[ x_{\text{в}}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac32. \]

\[ y_{\text{в}}=-\left(\frac32\right)^2+3\cdot\frac32-4 =-\frac94+\frac92-4=-\frac74. \]

Ответ: ветви направлены вниз; вершина параболы:

\[ \boxed{\left(\frac32;-\frac74\right)}. \]

---

3. \(y=0{,}6x^2+7{,}2x+22{,}6\)

Здесь \(a=0{,}6,\ b=7{,}2\). Так как \(a>0\), ветви параболы направлены вверх.

\[ x_{\text{в}}=-\frac{7{,}2}{2\cdot0{,}6} =-\frac{7{,}2}{1{,}2}=-6. \]

\[ y_{\text{в}}=0{,}6\cdot(-6)^2+7{,}2\cdot(-6)+22{,}6 \]

\[ y_{\text{в}}=21{,}6-43{,}2+22{,}6=1. \]

Ответ: ветви направлены вверх; вершина параболы:

\[ \boxed{(-6;1)}. \]

---

4. \(y=-5x^2-20x+6\)

Здесь \(a=-5,\ b=-20\). Так как \(a<0\), ветви параболы направлены вниз.

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-20}{2\cdot(-5)} =\frac{20}{-10}=-2. \]

\[ y_{\text{в}}=-5\cdot(-2)^2-20\cdot(-2)+6 =-20+40+6=26. \]

Ответ: ветви направлены вниз; вершина параболы:

\[ \boxed{(-2;26)}. \]

Итог

\[ \boxed{1)\ (5;-5),\quad 2)\ \left(\frac32;-\frac74\right),\quad 3)\ (-6;1),\quad 4)\ (-2;26).} \]

№ 90. Построим графики трёх любых функций: 1), 2), 6).

1) \(y=x^2+6x+5\)

Приведём функцию к виду:

\[ y=x^2+6x+5=(x+3)^2-4. \]

• \(a=1>0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
• Вершина:

\[ \boxed{A(-3;-4)}. \]

• Ось симметрии:

\[ \boxed{x=-3}. \]

• Область определения:

\[ D(y)=\mathbb R. \]

• Область значений:

\[ E(y)=[-4;+\infty). \]

Нули функции

\[ x^2+6x+5=0, \]

\[ (x+1)(x+5)=0. \]

\[ x_1=-5,\qquad x_2=-1. \]

Точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ (-5;0),\qquad (-1;0). \]

С осью \(Oy\):

\[ x=0,\qquad y=5, \]

\[ (0;5). \]

Таблица значений

\(x\)	\(-6\)	\(-5\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)
\(y\)	\(5\)	\(0\)	\(-3\)	\(-4\)	\(-3\)	\(0\)	\(5\)

Функция убывает на \((-\infty;-3]\) и возрастает на \([-3;+\infty)\).

---

2) \(y=-x^2+2x+8\)

Приведём функцию к виду:

\[ y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9. \]

• \(a=-1<0\), поэтому ветви параболы направлены вниз.
• Вершина:

\[ \boxed{A(1;9)}. \]

• Ось симметрии:

\[ \boxed{x=1}. \]

• Область определения:

\[ D(y)=\mathbb R. \]

• Область значений:

\[ E(y)=(-\infty;9]. \]

Нули функции

\[ -x^2+2x+8=0. \]

Умножим на \(-1\):

\[ x^2-2x-8=0, \]

\[ (x-4)(x+2)=0. \]

\[ x_1=-2,\qquad x_2=4. \]

Точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ (-2;0),\qquad (4;0). \]

С осью \(Oy\):

\[ (0;8). \]

Таблица значений

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(0\)	\(5\)	\(8\)	\(9\)	\(8\)	\(5\)	\(0\)

Функция возрастает на \((-\infty;1]\) и убывает на \([1;+\infty)\).

---

6) \(y=4-x^2\)

Запишем функцию:

\[ y=-x^2+4. \]

• \(a=-1<0\), поэтому ветви параболы направлены вниз.
• Вершина:

\[ \boxed{A(0;4)}. \]

• Ось симметрии:

\[ \boxed{x=0}. \]

• Область определения:

\[ D(y)=\mathbb R. \]

• Область значений:

\[ E(y)=(-\infty;4]. \]

Нули функции

\[ 4-x^2=0, \]

\[ x^2=4, \]

\[ x_1=-2,\qquad x_2=2. \]

Точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ (-2;0),\qquad (2;0). \]

С осью \(Oy\):

\[ (0;4). \]

Таблица значений

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(-5\)	\(0\)	\(3\)	\(4\)	\(3\)	\(0\)	\(-5\)

Функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\).

Построение

На координатной плоскости отметь точки из таблиц и соедини их плавной линией в виде параболы. У каждой параболы точки должны быть симметричны относительно указанной оси.