Понял: нужно решить оба варианта, задания 1–6, и для каждого оформить рисунок, «Дано» и решение. Само изображение сейчас не отображается в чате — отправь его ещё раз, лучше чётким фото целиком или несколькими снимками.

Понял: нужно решить оба варианта, задания 1–6, с рисунком, «Дано» и полным решением. Но самого изображения с условиями в чате нет, поэтому угадывать нельзя. Пришли фото ещё раз — целиком или несколькими чёткими снимками.

Понимаю, почему это раздражает. Дело не в качестве: в этом чате мне вообще не отображается само изображение — виден только текст. Поэтому я не могу восстановить условия и не буду выдумывать. Прикрепи фото ещё раз или перепиши задания 1–6 текстом — оформлю оба варианта с рисунком, «Дано» и решением.

Фото теперь читается. Это продолжение текущего задания, поэтому решаю оба варианта, задания 1–6.
В заданиях №3 использую обозначения по рисунку: \(E\in BC\), \(AE\) — биссектриса угла при \(A\).

Вариант 1

1

Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\), проведена диагональ \(AC\).

Дано:
\[ \angle1=\angle2,\qquad \angle3=\angle4. \]

Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение:

Так как \(\angle1\) и \(\angle2\) — накрест лежащие углы при секущей \(AC\), то

\[ AB\parallel CD. \]

Аналогично, из равенства \(\angle3=\angle4\) получаем

\[ AD\parallel BC. \]

В четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, значит,

\[ \boxed{ABCD\text{ — параллелограмм}.} \]

---

2

Рисунок: параллелограмм с соседними углами \(4x\) и \(5x\).

Дано:
\[ \alpha:\beta=4:5. \]

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\).

Решение:

Пусть

\[ \alpha=4x,\qquad \beta=5x. \]

Тогда

\[ 4x+5x=180^\circ, \] \[ 9x=180^\circ, \] \[ x=20^\circ. \]

Следовательно,

\[ \alpha=4\cdot20^\circ=80^\circ, \] \[ \beta=5\cdot20^\circ=100^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{80^\circ,\ 100^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ.} \]

---

3

Рисунок: параллелограмм \(ABCD\), точка \(E\) на \(BC\), проведён отрезок \(AE\).

Дано:

\[ P_{ABCD}=48\text{ см}, \] \[ AE\text{ — биссектриса }\angle DAB, \] \[ AB\text{ больше }ED\text{ на }3\text{ см}. \]

Найти: стороны параллелограмма.

Решение:

Так как \(AE\) — биссектриса,

\[ \angle BAE=\angle EAD. \]

Поскольку \(AD\parallel BC\), то

\[ \angle EAD=\angle AEB. \]

Значит,

\[ \angle BAE=\angle AEB, \]

поэтому треугольник \(ABE\) равнобедренный:

\[ AB=BE. \]

Обозначим:

\[ AB=x,\qquad AD=y. \]

Из периметра:

\[ 2(x+y)=48, \] \[ x+y=24. \]

Так как \(BC=AD\), а \(BE=AB\), то

\[ ED=BC-BE=AD-AB=y-x. \]

По условию:

\[ AB-ED=3, \] \[ x-(y-x)=3, \] \[ 2x-y=3. \]

Получаем систему:

\[ \begin{cases} x+y=24,\\ 2x-y=3. \end{cases} \]

Складываем уравнения:

\[ 3x=27,\qquad x=9. \]

Тогда

\[ y=24-9=15. \]

Ответ:

\[ \boxed{AB=CD=9\text{ см},\qquad AD=BC=15\text{ см}.} \]

---

4

Рисунок: ромб \(ABCD\), угол \(A=60^\circ\), диагональ \(BD\), противоположная этому углу.

Дано:

\[ P=40\text{ см},\qquad \angle A=60^\circ. \]

Решение:

Сторона ромба:

\[ a=\frac{40}{4}=10\text{ см}. \]

В треугольнике \(ABD\):

\[ AB=AD=10\text{ см},\qquad \angle BAD=60^\circ. \]

По теореме косинусов:

\[ BD^2=10^2+10^2-2\cdot10\cdot10\cdot\cos60^\circ, \]

\[ BD^2=100+100-200\cdot\frac12=100. \]

Следовательно,

\[ BD=10\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{10\text{ см}.} \]

---

5

Рисунок: равнобедренная трапеция с противоположными углами \(\alpha\) и \(\beta\).

Дано:

\[ \beta-\alpha=20^\circ. \]

В равнобедренной трапеции противоположные углы supplementary:

\[ \alpha+\beta=180^\circ. \]

Решение:

\[ \begin{cases} \beta-\alpha=20^\circ,\\ \alpha+\beta=180^\circ. \end{cases} \]

Складываем:

\[ 2\beta=200^\circ, \] \[ \beta=100^\circ. \]

Тогда

\[ \alpha=180^\circ-100^\circ=80^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{80^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ,\ 100^\circ.} \]

---

6

Рисунок: треугольник \(DEF\), \(N\) — середина \(EF\), проведена медиана \(DN\).

Дано:

\[ DN=\frac12DE, \] \[ \angle EDN=40^\circ. \]

Найти: \(\angle DEF\).

Так как \(E,N,F\) лежат на одной прямой, обозначим

\[ x=\angle DEF=\angle DEN. \]

В треугольнике \(DEN\):

\[ \angle DNE=180^\circ-40^\circ-x=140^\circ-x. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{DE}{\sin(140^\circ-x)} = \frac{DN}{\sin x}. \]

Так как \(DE=2DN\), получаем:

\[ \sin(140^\circ-x)=2\sin x. \]

Раскроем синус:

\[ \sin40^\circ\cos x+\cos40^\circ\sin x=2\sin x, \]

\[ \sin40^\circ\cos x=(2-\cos40^\circ)\sin x. \]

Отсюда

\[ \tan x= \frac{\sin40^\circ}{2-\cos40^\circ}. \]

Следовательно,

\[ x\approx27{,}52^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{\angle DEF\approx27{,}5^\circ.} \]

---

Вариант 2

1

Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\), проведены диагонали \(AC\) и \(BD\).

Дано:

\[ \angle1=\angle2,\qquad \angle3=\angle4. \]

Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение:

По первой паре равных накрест лежащих углов получаем параллельность одной пары противоположных сторон:

\[ AD\parallel BC. \]

По второй паре:

\[ AB\parallel CD. \]

Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны.

\[ \boxed{ABCD\text{ — параллелограмм}.} \]

---

2

Рисунок: параллелограмм с углами \(\alpha\) и \(\beta\).

Дано:

\[ \beta-\alpha=40^\circ. \]

Соседние углы параллелограмма в сумме равны \(180^\circ\):

\[ \alpha+\beta=180^\circ. \]

Решение:

\[ \begin{cases} \beta-\alpha=40^\circ,\\ \alpha+\beta=180^\circ. \end{cases} \]

Складываем:

\[ 2\beta=220^\circ, \] \[ \beta=110^\circ. \]

Тогда

\[ \alpha=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{70^\circ,\ 110^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ.} \]

---

3

Рисунок: параллелограмм \(ABCD\), \(E\in BC\), проведён отрезок \(AE\).

Дано:

\[ P_{ABCD}=56\text{ см}, \] \[ AE\text{ — биссектриса }\angle BAD, \] \[ BE:EC=3:1. \]

Найти: стороны параллелограмма.

Решение:

Как и в первом варианте, из свойства биссектрисы и параллельности сторон получаем:

\[ AB=BE. \]

Пусть

\[ BE=3x,\qquad EC=x. \]

Тогда

\[ BC=BE+EC=4x. \]

Так как \(AB=BE\), то

\[ AB=3x. \]

Периметр:

\[ 2(AB+BC)=56, \]

\[ 2(3x+4x)=56, \]

\[ 14x=56, \]

\[ x=4. \]

Следовательно,

\[ AB=3\cdot4=12\text{ см}, \] \[ BC=4\cdot4=16\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{AB=CD=12\text{ см},\qquad AD=BC=16\text{ см}.} \]

---

4

Рисунок: ромб \(ABCD\), \(\angle A=120^\circ\), диагональ \(AC=10\) см.

Дано:

\[ \angle A=120^\circ, \] \[ AC=10\text{ см}. \]

Решение:

Диагональ ромба делит угол пополам:

\[ \angle BAC=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ. \]

В ромбе

\[ AB=BC. \]

Кроме того, угол \(B=60^\circ\). Значит, треугольник \(ABC\) равносторонний:

\[ AB=BC=AC=10\text{ см}. \]

Периметр ромба:

\[ P=4\cdot10=40\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{40\text{ см}.} \]

---

5

Рисунок: равнобедренная трапеция с углами двух типов \(\alpha\) и \(\beta\).

Дано:

\[ \alpha:\beta=2:7. \]

Соседние углы трапеции supplementary:

\[ \alpha+\beta=180^\circ. \]

Решение:

Пусть

\[ \alpha=2x,\qquad \beta=7x. \]

Тогда

\[ 2x+7x=180^\circ, \]

\[ 9x=180^\circ, \]

\[ x=20^\circ. \]

Следовательно,

\[ \alpha=40^\circ,\qquad \beta=140^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{40^\circ,\ 40^\circ,\ 140^\circ,\ 140^\circ.} \]

---

6

Рисунок: треугольник \(ABC\), \(M\) — середина \(AC\), проведена медиана \(BM\). Дополнительно построить точку \(K\) так, чтобы \(M\) была серединой \(BK\).

Дано:

\[ BM=\frac12AB, \] \[ \angle ABM=50^\circ. \]

Найти: \(\angle ABC\).

Решение:

Так как \(M\) — середина \(AC\) и \(BK\), то диагонали \(AC\) и \(BK\) четырёхугольника \(ABCK\) делятся пополам. Значит,

\[ ABCK\text{ — параллелограмм}. \]

По условию:

\[ AB=2BM. \]

А так как \(M\) — середина \(BK\), то

\[ BK=2BM. \]

Следовательно,

\[ AB=BK. \]

Треугольник \(ABK\) равнобедренный, а его угол при \(B\) равен \(50^\circ\). Поэтому

\[ \angle BAK=\angle AKB= \frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ. \]

В параллелограмме

\[ AK\parallel BC. \]

Значит, углы \(\angle BAK\) и \(\angle ABC\) supplementary:

\[ \angle ABC=180^\circ-65^\circ=115^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{115^\circ.} \]