Номер 117 8 класс алгебра

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle \frac{1}{2(a-2)}\), при \(a=5\): \(\boxed{\frac16}\).
2. \(\displaystyle -\frac2c\), при \(c=-0{,}8\): \(\boxed{2{,}5}\).
3. \(\displaystyle \frac{m-4n}{2(m+4n)}\), при \(m=3,\ n=0{,}5\): \(\boxed{\frac1{10}}\).

1)

\[ \frac7{2a-4}-\frac{12}{a^2-4}-\frac3{a+2} \]

Разложим знаменатели на множители:

\[ 2a-4=2(a-2),\qquad a^2-4=(a-2)(a+2). \]

Общий знаменатель:

\[ 2(a-2)(a+2). \]

Тогда

\[ \begin{aligned} &\frac{7(a+2)-24-6(a-2)} {2(a-2)(a+2)}\\ &=\frac{7a+14-24-6a+12} {2(a-2)(a+2)} =\frac{a+2}{2(a-2)(a+2)} =\frac1{2(a-2)}. \end{aligned} \]

При \(a=5\):

\[ \frac1{2(5-2)}=\frac16. \]

Проверка по исходному выражению:

\[ \frac76-\frac{12}{21}-\frac37 =\frac76-\frac47-\frac37 =\frac76-1=\frac16. \]

---

2)

\[ \frac{2c+3}{2c^2-3c} +\frac{2c-3}{2c^2+3c} -\frac{16c}{4c^2-9}. \]

Разложим знаменатели:

\[ 2c^2-3c=c(2c-3), \]

\[ 2c^2+3c=c(2c+3), \]

\[ 4c^2-9=(2c-3)(2c+3). \]

Приведём к общему знаменателю \(c(2c-3)(2c+3)\):

\[ \begin{aligned} &\frac{(2c+3)^2+(2c-3)^2-16c^2} {c(2c-3)(2c+3)}\\ &=\frac{4c^2+12c+9+4c^2-12c+9-16c^2} {c(2c-3)(2c+3)}\\ &=\frac{18-8c^2}{c(2c-3)(2c+3)}. \end{aligned} \]

Так как

\[ 18-8c^2=-2(2c-3)(2c+3), \]

то

\[ \frac{-2(2c-3)(2c+3)} {c(2c-3)(2c+3)} =-\frac2c. \]

При \(c=-0{,}8\):

\[ -\frac2{-0{,}8}=2{,}5. \]

---

3)

\[ \frac{m^2+16n^2}{m^2-16n^2} -\frac{m+4n}{2m-8n}. \]

Разложим знаменатели:

\[ m^2-16n^2=(m-4n)(m+4n), \]

\[ 2m-8n=2(m-4n). \]

Общий знаменатель:

\[ 2(m-4n)(m+4n). \]

Тогда

\[ \begin{aligned} &\frac{2(m^2+16n^2)-(m+4n)^2} {2(m-4n)(m+4n)}\\ &=\frac{2m^2+32n^2-(m^2+8mn+16n^2)} {2(m-4n)(m+4n)}\\ &=\frac{m^2-8mn+16n^2} {2(m-4n)(m+4n)}\\ &=\frac{(m-4n)^2} {2(m-4n)(m+4n)} =\frac{m-4n}{2(m+4n)}. \end{aligned} \]

Подставим \(m=3,\ n=0{,}5\):

\[ \frac{3-4\cdot0{,}5}{2(3+4\cdot0{,}5)} =\frac{1}{10}. \]

Проверка:

\[ \frac{3^2+16\cdot0{,}5^2}{3^2-16\cdot0{,}5^2} -\frac{3+4\cdot0{,}5}{2\cdot3-8\cdot0{,}5} =\frac{13}{5}-\frac52=\frac1{10}. \]

Главный принцип: сначала разложить знаменатели на множители, затем привести дроби к общему знаменателю и сокращать только ненулевые множители.