Реши задание на изображении
Объяснение законов степеней
Мне нужно объяснить некоторые законы степеней: если у меня есть \(a^m\) и \(a^n\), это означает \(a^{m+n}\). При делении \(a^m/a^n\) равно \(a^{m-n}\). Когда я возводлю степень в другую степень, \((a^m)^n\) превращается в \(a^{mn}\). Если у меня есть произведение оснований, например \((xyz)^n\), оно раскрывается как \(x^n y^n z^n\). Я прослежу за тем, чтобы упростить вычисления и записать ответы в требуемой форме. Вычислим: 1 даёт мне \(a^4\), 2 даёт \(a^{-4}\), и так далее.
Вычисление выражений со степенями
Я работаю над упрощением различных выражений со степенями. Например, я вычислил, что \(5 - 4 + (-12) = -16\) приводит к \(a^{-16}\). Далее объединение показателей степеней, например \(6a^{17} \cdot a^{-23}\), даёт \(a^9\).
Кроме того, упрощение выражений вроде \(8(a^3)^{-7}\) приводит к \(a^{-21}\). Я вижу, как эти операции взаимодействуют, особенно когда присутствуют и произведения, и частные. Всё сводится к точному применению правильных правил работы со степенями!
Анализ преобразований степеней
Я начинаю с первого выражения: \(a^7 b^3\), возведённое в степень \(-4\), даёт \(a^{-28} b^{-12}\). Второе выражение, \(a^{-3} b^{-9}\), возведённое в степень \(-12\), даёт \(a^{36} b^{108}\). Перемножая их, я получаю произведение \(a^8 b^{96}\).
Мне нужно перепроверить, является ли первый знаменатель \(b^{-3}\) — и да, это так! Второй числитель — \(a^{-3}\), а знаменатель — \(b^{9}\). Я хочу включить краткий ответ перед изложением основных выполненных шагов.
Краткий ответ
- \(a^4\);
- \(a^{-4}\);
- \(a^{-4}\);
- \(a^{-8}\);
- \(a^{-16}\);
- \(a^9\);
- \(a^{-32}\);
- \(a^{39}\);
- \(a^{-50}b^{30}c^{-40}\);
- \(a^{-30}b^{-45}\);
- \(a^{-24}b^8c^{10}d^{-26}\);
- \(a^8b^{96}\).
Основные правила
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
Степень произведения распространяется на каждый множитель:
\[ (xyz)^n=x^ny^nz^n. \]
Решение
\[ a^{-8}\cdot a^{12}=a^{-8+12}=a^4. \]
\[ a^7\cdot a^{-11}=a^{7-11}=a^{-4}. \]
\[ a^6\cdot a^{10}\cdot a^{-20} =a^{6+10-20}=a^{-4}. \]
\[ a^{-3}:a^5=a^{-3-5}=a^{-8}. \]
\[ a^{-4}\cdot a^{-12}=a^{-4-12}=a^{-16}. \]
\[ a^{17}\cdot a^{-23}:a^{-15} =a^{17-23-(-15)}=a^9. \]
\[ (a^{-4})^8=a^{-4\cdot8}=a^{-32}. \]
\[ \begin{aligned} (a^3)^{-7}\cdot(a^{-4})^{-5}:(a^{-5})^8 &=a^{-21}\cdot a^{20}:a^{-40}\\ &=a^{-21+20-(-40)}\\ &=a^{39}. \end{aligned} \]
\[ (a^5b^{-3}c^4)^{-10} =a^{-50}b^{30}c^{-40}. \]
\[ \begin{aligned} (a^2b^{-3})^{-3}\cdot(a^{-4}b^{-9})^6 &=a^{-6}b^9\cdot a^{-24}b^{-54}\\ &=a^{-30}b^{-45}. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \left(\frac{a^{12}b^{-4}}{c^5d^{-13}}\right)^{-2} &=(a^{12}b^{-4}c^{-5}d^{13})^{-2}\\ &=a^{-24}b^8c^{10}d^{-26}. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \left(\frac{a^7}{b^{-3}}\right)^{-4} \cdot\left(\frac{a^{-3}}{b^9}\right)^{-12} &=(a^7b^3)^{-4}(a^{-3}b^{-9})^{-12}\\ &=a^{-28}b^{-12}\cdot a^{36}b^{108}\\ &=a^8b^{96}. \end{aligned} \]
Проверка: в №8 показатели дают \(-21+20+40=39\), а в №12 показатели дают \(-28+36=8\) и \(-12+108=96\).
