Реши номер 3

Краткий ответ: сечение куба плоскостью \((FMP)\) — шестиугольник
\[ P\,F\,Q\,R\,S\,T, \] где \(Q\in CC_1,\ R\in B_1C_1,\ S\in A_1B_1,\ T\in AA_1\).

Построение

1. Проведи прямые \(MP\) и \(MF\). Продли их до пересечения с плоскостью верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\). Получи точки \(X\) и \(Y\).
2. Соедини \(X\) и \(Y\). Прямая \(XY\) пересекает рёбра: \[ A_1B_1\text{ в }S,\qquad B_1C_1\text{ в }R. \] Отрезок \(SR\) — часть сечения верхней грани.
3. На левой грани \(AA_1B_1B\) проведи \(MS\). Она пересечёт ребро \(AA_1\) в точке \(T\).
4. На задней грани \(BB_1C_1C\) проведи \(MR\). Она пересечёт ребро \(CC_1\) в точке \(Q\).
5. Соедини последовательно: \[ P F,\quad FQ,\quad QR,\quad RS,\quad ST,\quad TP. \]

Полученный шестиугольник \(PFQRST\) и есть искомое сечение.

Проверка: его стороны лежат соответственно в нижней, правой, задней, верхней, левой и передней гранях куба, а все точки принадлежат одной плоскости \((FMP)\).