Решить все задания с 3.1-3.7

Краткие ответы

• 3.1: 1) \(\overrightarrow{BC_1}\); 2) \(\overrightarrow{BC}\).
• 3.2: 1) \(\overrightarrow{AB_1}\); 2) \(\overrightarrow{AD}\).
• 3.3: \(\overrightarrow{AD_1}\).
• 3.4: \(\vec 0\).
• 3.5: 1) \((1;\,-2;\,-1)\); 2) \(\sqrt6\).
• 3.6: 1) \((-10;\,1;\,4)\); 2) \(3\sqrt{13}\).
• 3.7: 1) \(\overrightarrow{CB}\); 2) \(\overrightarrow{CB}\); 3) \(\overrightarrow{CA_1}\).

Решение

Используем правила:

\[ \overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}, \]

а в призме и параллелепипеде соответствующие рёбра равны как векторы:

\[ \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}, \]

\[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1},\qquad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B_1C_1}. \]

3.1

1. Так как \(\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}\), то

\[ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1} = \boxed{\overrightarrow{BC_1}}. \]

2. Так как \(\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}\), то

\[ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} = \boxed{\overrightarrow{BC}}. \]

3.2

1. Перенесём \(\overrightarrow{DD_1}\) в \(\overrightarrow{BB_1}\):

\[ \overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1} = \boxed{\overrightarrow{AB_1}}. \]

2. Так как \(\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{CD}\), получаем

\[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} = \boxed{\overrightarrow{AD}}. \]

3.3

В параллелепипеде:

\[ \overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, \]

а

\[ \overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD_1} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{B_1C_1} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1} -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\ &=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}\\ &=\boxed{\overrightarrow{AD_1}}. \end{aligned} \]

3.4

Представим векторы через рёбра параллелепипеда:

\[ \overrightarrow{A_1A}=-\overrightarrow{AA_1}, \]

\[ \overrightarrow{C_1D_1}=-\overrightarrow{AB}, \]

\[ \overrightarrow{DB_1} = -\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1}, \]

\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} &\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{C_1D_1} +\overrightarrow{DB_1}+\overrightarrow{BC}\\ &=-\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB} +\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AA_1}\right)+\overrightarrow{AD}\\ &=\boxed{\vec 0}. \end{aligned} \]

Все слагаемые попарно сокращаются.

3.5

Складываем координаты одноимённых компонент:

\[ \vec a+\vec b =(3+(-2);\,-6+4;\,4+(-5)) =\boxed{(1;\,-2;\,-1)}. \]

Длина вектора:

\[ |\vec a+\vec b| = \sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \boxed{\sqrt6}. \]

3.6

\[ \vec m+\vec n =(-7+(-3);\,-1+2;\,8+(-4)) = \boxed{(-10;\,1;\,4)}. \]

Длина:

\[ |\vec m+\vec n| = \sqrt{(-10)^2+1^2+4^2} = \sqrt{100+1+16} = \sqrt{117} = \boxed{3\sqrt{13}}. \]

3.7

Обозначим:

\[ \overrightarrow{AB}=\vec u,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec v,\qquad \overrightarrow{AA_1}=\vec h. \]

Тогда:

\[ \overrightarrow{A_1C_1}=\vec v,\qquad \overrightarrow{BC_1}=\vec v-\vec u+\vec h, \]

\[ \overrightarrow{BA_1}=\vec h-\vec u,\qquad \overrightarrow{B_1C_1}=\vec v-\vec u. \]

\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A_1C_1} = \vec u-\vec v = \boxed{\overrightarrow{CB}}. \]

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{BC_1} &=\vec h-(\vec v-\vec u+\vec h)\\ &=\vec u-\vec v\\ &=\boxed{\overrightarrow{CB}}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA_1}-\overrightarrow{B_1C_1} &=(\vec h-\vec u)-(\vec v-\vec u)\\ &=\vec h-\vec v\\ &=\boxed{\overrightarrow{CA_1}}. \end{aligned} \]

Проверка: в заданиях 3.5 и 3.6 длина найдена по формуле
\[ |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]