19
Нахождение показателей степеней двойки
Мне нужно найти показатель \(k\) для различных оснований, чтобы получить \(2^{24}\). Например, \((2^2)^k = 2^{24}\) даёт \(k=12\). Для каждого основания действует тот же принцип: \((2^3)^k\) даёт \(k=8\), и так далее, пока я не найду все необходимые значения. Следует объяснить принцип с помощью \((a^m)^n=a^{mn}\) и представить такие числа, как 16 и 64, в виде степеней двойки.
[[NEXT]] Реши похожий пример: представь \(2^{36}\) через \(2^4\).
Краткий ответ:
а) \(\left(2^2\right)^{12}\);
б) \(\left(2^3\right)^8\);
в) \(\left(2^8\right)^3\);
г) \(\left(2^{12}\right)^2\);
д) \(16^6\);
е) \(64^4\).
Объяснение. Используем правило:
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
Нужно, чтобы произведение показателей степени было равно \(24\):
- \(2\cdot 12=24\);
- \(3\cdot 8=24\);
- \(8\cdot 3=24\);
- \(12\cdot 2=24\).
Для последних пунктов представим числа как степени двойки:
\[ 16=2^4,\qquad 64=2^6. \]
Тогда:
\[ 16^6=(2^4)^6=2^{24}, \qquad 64^4=(2^6)^4=2^{24}. \]
Значит, все ответы верны.
