1 вариант
Вариант 1
Угол между диагоналями:
\[ 2\cdot 30^\circ=60^\circ. \] Ответ: \(60^\circ\) (второй угол — \(120^\circ\)).Так как \(MN\parallel KP\), а \(KE\) — биссектриса: \[ \angle MKE=\angle EKP=\angle KEM. \] Следовательно, \(\triangle KME\) равнобедренный, \(KM=ME=10\) см.
\[ 2(KM+KP)=52,\quad 2(10+KP)=52, \] \[ \boxed{KP=16\text{ см}}. \]
Обсуждение
4 сообщения1 вариант с чертежами
Вариант 1
1. Прямоугольник \(ABCD\)
Чертёж:
A────────────B
│╲ ╱│
│ ╲ ╱ │
│ ╲ O ╱ │
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
D────────────C
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому
\[ OA=OB. \]
Треугольник \(AOB\) равнобедренный:
\[ \angle OAB=\angle ABO=30^\circ. \]
Тогда
\[ \angle AOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ. \]
Меньший угол между диагоналями:
\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
Ответ: \(\boxed{60^\circ}\).
2. Параллелограмм \(KMNP\)
Чертёж:
P────────────N
╱ ╱
╱ E ╱
╱ ╱ ╱
╱ ╱ ╱
K────────────M
\(KE\) — биссектриса угла \(MKP\), поэтому
\[ \angle MKE=\angle EKP. \]
Так как \(MN\parallel KP\), а точки \(M,E,N\) лежат на одной прямой, то
\[ \angle KEM=\angle EKP. \]
Следовательно,
\[ \angle KEM=\angle MKE. \]
В треугольнике \(KME\) равны углы, лежащие напротив сторон \(KM\) и \(ME\). Значит,
\[ KM=ME. \]
а) Доказано:
\[ \triangle KME \text{ — равнобедренный}. \]
б) Найдём \(KP\)
\[ ME=10\text{ см} \Rightarrow KM=10\text{ см}. \]
Периметр параллелограмма:
\[ 2(KM+KP)=52. \]
\[ KM+KP=26, \]
\[ KP=26-10=16\text{ см}. \]
Ответ: \(\boxed{KP=16\text{ см}}\).
сделай понятней
Конечно. Разберём проще и по шагам.
1. Прямоугольник
Диагонали пересекаются в точке \(O\).
A────────────B
│╲ ╱│
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
│ ╲ O ╱ │
│ ╲ ╱ │
│ ╲╱ │
D────────────C
По условию угол у диагонали равен \(30^\circ\).
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому
\[ OA=OB. \]
Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный, и два его угла равны \(30^\circ\).
Третий угол:
\[ \angle AOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ. \]
Но нужен меньший угол между диагоналями:
\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
Ответ: \(\boxed{60^\circ}\).
2. Параллелограмм
P────────────N
/ /
/ E /
/ / /
K───────/────M
Дано:
\[ ME=10\text{ см},\qquad P=52\text{ см}. \]
Шаг 1. Докажем, что \(KM=ME\)
\(KE\) — биссектриса, поэтому она делит угол пополам:
\[ \angle MKE=\angle EKP. \]
Так как
\[ MN\parallel KP, \]
то углы
\[ \angle EKP=\angle KEM. \]
Значит,
\[ \angle MKE=\angle KEM. \]
В треугольнике \(KME\) равны углы, поэтому равны и противоположные стороны:
\[ KM=ME. \]
Так как \(ME=10\) см, то
\[ KM=10\text{ см}. \]
Шаг 2. Найдём \(KP\)
Периметр параллелограмма:
\[ 2(KM+KP)=52. \]
Подставим \(KM=10\):
\[ 2(10+KP)=52, \]
\[ 10+KP=26, \]
\[ KP=26-10=16\text{ см}. \]
Ответ: \(\boxed{KP=16\text{ см}}\).
