Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. \(AM\subset\alpha\).
2. Прямые \(a\) и \(b\) не пересекаются.
3. Точки \(A,B,C\) лежат на одной прямой.
4. Прямые \(AC\) и \(BD\) не пересекаются.
5. По рисунку:
   • в плоскости \(SAB\): \(S,A,B,K\);
   • в плоскости \(ABC\): \(A,B,C,N\);
   • \(MN\subset(ABC)\), \(KM\subset(SAB)\);
   • \((ASC)\cap(SBC)=SC\), \((SAC)\cap(CAB)=AC\).
6. Нет, не обязательно.
7. Нет, не обязательно.

1. Стороны \(AB\) и \(AC\) лежат в плоскости \(\alpha\)

Точки \(A,B,C\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Значит, прямая \(BC\) также лежит в \(\alpha\).

Медиана \(AM\) пересекает сторону \(BC\) в её середине \(M\), поэтому \(M\in\alpha\). Так как \(A\in\alpha\) и \(M\in\alpha\), то

\[ AM\subset\alpha. \]

2. Прямые \(a\) и \(b\)

Предположим, что \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(P\).

Так как \(a\subset\alpha\), то \(P\in\alpha\). Но прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) только в точке \(B\), значит, \(P=B\).

Получаем \(B\in a\), что противоречит условию. Следовательно,

\[ a\cap b=\varnothing. \]

3. Точки \(A,B,C\) в двух различных плоскостях

Две различные пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой. Поэтому их общие точки \(A,B,C\) лежат на одной прямой — линии пересечения этих плоскостей.

4. Прямые \(AB\) и \(CD\) не лежат в одной плоскости

Предположим, что \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(X\).

Две пересекающиеся прямые \(AC\) и \(BD\) определяют плоскость. В этой плоскости лежат точки \(A,B,C,D\), значит, в ней лежат и прямые \(AB\) и \(CD\).

Это противоречит условию. Поэтому прямые \(AC\) и \(BD\) не пересекаются.

5. Задание по рисунку

По рисунку \(K\in SA\), \(M\in AB\), \(N\in BC\).

а) Например:

\[ (SAB):\quad S,A,B,K; \]

\[ (ABC):\quad A,B,C,N. \]

Точка \(M\) также принадлежит обеим плоскостям, так как \(M\in AB\).

б)

\[ MN\subset(ABC),\qquad KM\subset(SAB). \]

в) Две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через их общие точки:

\[ (ASC)\cap(SBC)=SC, \]

\[ (SAC)\cap(CAB)=AC. \]

6. Общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\)

Нет, утверждение неверно.

Из того, что \(C\) принадлежит обеим плоскостям, ещё не следует, что их линия пересечения — произвольная прямая \(l\), проходящая через \(C\). Линия \(l\) должна лежать сразу в обеих плоскостях.

7. Три общие точки плоскостей

Нет, не обязательно.

Если три общие точки лежат на одной прямой, то две различные плоскости могут иметь эту прямую общей. Например, плоскости могут пересекаться по прямой, на которой находятся все три точки.

Если же три общие точки не лежат на одной прямой, то плоскости совпадают, поскольку через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.