Сделай 12 номер
Ответ: \(r=5\%\).
Обозначим коэффициент увеличения долга:
\[ q=1+\frac r{100}. \]
В январе первого года долг станет \(420000q\) рублей. После выплаты \(341000\) рублей останется:
\[ 420000q-341000. \]
В январе второго года эта сумма снова увеличится в \(q\) раз, а затем будет выплачено \(105000\) рублей:
\[ (420000q-341000)q=105000. \]
Раскроем скобки:
\[ 420000q^2-341000q-105000=0, \]
\[ 420q^2-341q-105=0. \]
Дискриминант:
\[ D=341^2+4\cdot420\cdot105=292681=541^2. \]
Тогда
\[ q=\frac{341+541}{840}=\frac{882}{840}=1{,}05. \]
Следовательно,
\[ 1+\frac r{100}=1{,}05, \qquad r=5. \]
Проверка:
\[ 420000\cdot1{,}05=441000, \]
\[ 441000-341000=100000, \]
\[ 100000\cdot1{,}05=105000. \]
Второй платёж полностью погашает долг. Ответ: \(\boxed{5\%}\).
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни по-другому.
Давай решим без дискриминанта — разложением на множители.
Пусть \(k\) — число, во сколько раз увеличивается долг за год. Тогда:
- \(k=1{,}05\) означает рост на \(5\%\);
- после первого года долг равен \(420000k\);
- после выплаты \(341000\) останется \(420000k-341000\);
- через год эта сумма станет \(105000\):
\[ (420000k-341000)k=105000. \]
Раскроем скобки и разделим на \(1000\):
\[ 420k^2-341k-105=0. \]
Разложим на множители:
\[ (20k-21)(21k+5)=0. \]
Отсюда:
\[ k=\frac{21}{20}=1{,}05 \]
или \(k=-\frac5{21}\), что невозможно для увеличения долга.
Значит, долг каждый год увеличивался в \(1{,}05\) раза:
\[ 1{,}05=1+\frac{5}{100}. \]
Ответ: \(\boxed{5\%}\).
Проверка:
\[ 420000\cdot1{,}05-341000=100000, \]
\[ 100000\cdot1{,}05=105000. \]
