Реши задание на изображении
Қысқаша жауап
- \(BC=8\) см
- \(EP=21\) см
- \(AC=88\) см
- Орта нүктелердің арақашықтығы: \(\dfrac{MN}{2}\)
- \(\angle1=48^\circ,\ \angle2=72^\circ\)
- \(\angle DOA=74^\circ\)
- \(\angle CAB=140^\circ\)
- \(\angle AOC=25^\circ,\ \angle AOD=155^\circ,\ \angle BOC=155^\circ\)
- \(\angle AOC=105^\circ\)
- \(\angle CMN+\angle BNM=180^\circ\) дәлелденді.
Шешуі
1. \(BC=x\) болсын. Онда \(AC=x+8\).
\[ AB=AC+CB \]
\[ 24=(x+8)+x \]
\[ 2x=16,\qquad x=8 \]
Тексеру: \(AC=16\) см, \(16+8=24\) см.
2. \(EP=x\) болсын. \(CE\) одан 10 см қысқа:
\[ CE=x-10 \]
\[ CP=CE+EP \]
\[ 32=(x-10)+x \]
\[ 2x=42,\qquad x=21 \]
Тексеру: \(CE=11\) см, \(11+21=32\) см.
3. \(KB=33\) см және
\[ AK:KB=1:3 \]
3 бөлік \(33\) см болса, 1 бөлік:
\[ 33:3=11\text{ см} \]
Сондықтан \(AK=11\) см,
\[ AB=AK+KB=11+33=44\text{ см} \]
\(B\) — \(AC\)-тың ортасы, сондықтан \(AB=BC=44\) см.
\[ AC=44+44=88\text{ см} \]
4. \(P\) — \(ML\)-дің, \(Q\) — \(LN\)-нің орта нүктелері болсын. Сызбадағы реті:
\[ M-P-L-Q-N \]
Онда:
\[ PL=\frac{ML}{2},\qquad LQ=\frac{LN}{2} \]
\[ PQ=PL+LQ =\frac{ML}{2}+\frac{LN}{2} =\frac{ML+LN}{2} =\frac{MN}{2} \]
Демек, орта нүктелердің арақашықтығы \(MN\) ұзындығының жартысына тең.
5. Бұрыштар қатынасы \(2:3\) болғандықтан:
\[ \angle1=2x,\qquad \angle2=3x \]
Екі бұрыштың қосындысы \(120^\circ\):
\[ 2x+3x=120^\circ \]
\[ 5x=120^\circ,\qquad x=24^\circ \]
\[ \angle1=48^\circ,\qquad \angle2=72^\circ \]
Тексеру: \(48^\circ+72^\circ=120^\circ\).
6. \(D\) сәулесі \(\angle AOB\) бұрышының ішінде орналасқан:
\[ \angle DOA=\angle AOB-\angle DOB \]
\[ \angle DOA=123^\circ-49^\circ=74^\circ \]
Тексеру үшін:
\[ \angle AOC=123^\circ-83^\circ=40^\circ, \]
\[ \angle COD=83^\circ-49^\circ=34^\circ, \]
\[ 40^\circ+34^\circ=74^\circ. \]
7. \(x=\angle CAB\) болсын.
\(AK\) — биссектриса:
\[ \angle CAK=\angle KAB=\frac{x}{2} \]
\(AE\) — \(\angle KAB\)-тың биссектрисасы:
\[ \angle KAE=\frac{x}{4} \]
Сонда:
\[ \angle CAE=\angle CAK+\angle KAE =\frac{x}{2}+\frac{x}{4} =\frac{3x}{4} \]
\[ \frac{3x}{4}=105^\circ \]
\[ x=140^\circ \]
Демек,
\[ \angle CAB=140^\circ. \]
8. Сурет бойынша \(\angle DOB=25^\circ\).
Қиылысқан түзулердің вертикаль бұрыштары тең:
\[ \angle AOC=\angle DOB=25^\circ \]
Жанасушы бұрыштардың қосындысы \(180^\circ\):
\[ \angle AOD=180^\circ-25^\circ=155^\circ \]
\[ \angle BOC=180^\circ-25^\circ=155^\circ \]
9. Түзу бұрыш:
\[ \angle FOE=180^\circ \]
Сондықтан:
\[ 35^\circ+\angle DOB+40^\circ=180^\circ \]
\[ \angle DOB=105^\circ \]
\(\angle AOC\) пен \(\angle DOB\) — вертикаль бұрыштар:
\[ \angle AOC=105^\circ \]
10. Суреттегі қарама-қарсы сәулелерді пайдаланып:
\[ \angle KMA=\angle CMN \]
және
\[ \angle ENB=\angle CNM \]
Бұл — вертикаль бұрыштар. Берілгені бойынша:
\[ \angle KMA=\angle ENB \]
сондықтан:
\[ \angle CMN=\angle CNM \]
Ал \(NB\) және \(NC\) — қарама-қарсы сәулелер, сондықтан:
\[ \angle CNM+\angle BNM=180^\circ \]
\(\angle CNM=\angle CMN\) болғандықтан:
\[ \boxed{\angle CMN+\angle BNM=180^\circ} \]
