Математика на 14.10 (Ср): Решить задачу методом перебора (в данном случае перебирать надо будет разные порядки домов на улице): Дома Андрея, Бори, Вовы и Глеба расположены в…
Математика на 14.10 (Ср): Решить задачу методом перебора (в данном случае перебирать надо будет разные порядки домов на улице): Дома Андрея, Бори, Вовы и Глеба расположены в некотором порядке на одной прямой улице. Расстояние между домами Андрея и Бори, как и расстояние между домами Вовы и Глеба, равно 600 м. Чему может равняться в метрах расстояние между домами Андрея и Глеба, если известно, что оно в 3 раза больше, чем расстояние между домами Бори и Вовы? Укажите все возможные варианты.
Краткий ответ: расстояние между домами Андрея и Глеба может быть \(900\) м или \(1800\) м.
Решение перебором порядков
Обозначим дома буквами \(A, B, V, G\).
Будем считать расстояния в единицах по \(600\) м:
\[ AB=VG=1. \]
Можно развернуть улицу так, чтобы дом \(A\) находился левее дома \(B\). Рассмотрим возможные порядки домов.
1. Порядок \(A-B-V-G\)
Пусть \(BV=x\). Тогда
\[ AG=AB+BV+VG=1+x+1=2+x. \]
По условию \(AG=3BV\), значит:
\[ 2+x=3x,\qquad x=1. \]
Тогда
\[ AG=2+1=3 \]
единицы по \(600\) м:
\[ AG=3\cdot600=1800\text{ м}. \]
2. Порядок \(A-V-B-G\)
Пусть \(BV=x\). Так как \(AB=VG=1\), то
\[ AV=BG=1-x. \]
Следовательно,
\[ AG=AV+VB+BG=(1-x)+x+(1-x)=2-x. \]
По условию:
\[ 2-x=3x,\qquad x=\frac12. \]
Тогда
\[ AG=2-\frac12=\frac32 \]
единицы по \(600\) м:
\[ AG=\frac32\cdot600=900\text{ м}. \]
Остальные порядки либо противоречат равенствам \(AB=VG\), либо дают \(AG=BV\), а не \(AG=3BV\).
Проверка
- \(AG=1800\) м: \(BV=600\) м, \(3\cdot600=1800\) м.
- \(AG=900\) м: \(BV=300\) м, \(3\cdot300=900\) м.
Ответ: \(\boxed{900\text{ м},\ 1800\text{ м}}\).
