Реши задание на изображении
Краткий ответ
а) \(\displaystyle \frac{3}{y^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{7a}{2c}\);
в) \(\displaystyle \frac{3(2a-1)(2a+1)^2}{(a-3)(a+3)^2}\);
г) \(\displaystyle \frac{p}{q}\).а) \(\displaystyle \frac{a}{b-4}\).
Значение выражения постоянно и равно \(\boxed{2}\).
Решение
1а)
\[ \frac{42x^5}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^5} = \frac{42}{14}\cdot\frac{x^5}{x^5}\cdot\frac{y^2}{y^4} = \frac{3}{y^2}. \]
1б)
Деление на выражение заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{63a^3b}{c}:(18a^2b) = \frac{63a^3b}{c}\cdot\frac1{18a^2b} = \frac{63a}{18c} = \frac{7a}{2c}. \]
1в)
Разложим многочлены на множители:
\[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1), \]
\[ a^2-9=(a-3)(a+3),\qquad 6a+3=3(2a+1). \]
Тогда
\[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}\cdot\frac{6a+3}{a+3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{3(2a+1)}{a+3} \]
\[ = \frac{3(2a-1)(2a+1)^2}{(a-3)(a+3)^2}. \]
1г)
\[ \frac{p-q}{p}\left(\frac{p}{p-q}+\frac pq\right) = 1+\frac{p-q}{q} = \frac{q+p-q}{q} = \frac pq. \]
2а)
Используем формулы разности квадратов:
\[ a^2-x^2=(a-x)(a+x),\qquad b^2-16=(b-4)(b+4). \]
Тогда
\[ \frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x} = \frac{(a-x)(a+x)}{(b-4)(b+4)} \cdot\frac{b+4}{a-x} = \frac{a+x}{b-4}. \]
Кроме того,
\[ \frac{x}{4-b}=-\frac{x}{b-4}. \]
Следовательно,
\[ \frac{a+x}{b-4}-\frac{x}{b-4} = \frac{a}{b-4}. \]
3)
Так как \(b\ne\pm1\), можно разложить знаменатели:
\[ b^2-2b+1=(b-1)^2,\qquad b^2-1=(b-1)(b+1). \]
Тогда
\[ (b-1)^2\left(\frac1{(b-1)^2} +\frac1{(b-1)(b+1)}\right)+\frac2{b+1} \]
\[ =1+\frac{b-1}{b+1}+\frac2{b+1} =1+\frac{b+1}{b+1} =2. \]
Итак, выражение при всех допустимых \(b\) равно \(2\), поэтому от \(b\) не зависит.
Ограничения исходных выражений: в пункте 1а \(x,y\ne0\); в 1б \(a,b,c\ne0\); в 1в \(a\ne\pm3\); в 1г \(p\ne0,\ q\ne0,\ p\ne q\); в пункте 2 \(a\ne x,\ b\ne\pm4\).
