Реши задание на изображении

Қысқаша жауап

1. \(\overrightarrow{AB}=(6;-4)\), \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=2\sqrt{13}\).
2. а) \(\vec a+\vec b=(-1;-1)\);
   ә) \(\vec a-\vec b=(5;-9)\);
   б) \(3\vec a=(6;-15)\).
3. \(\vec a\cdot\vec b=15\), \(\alpha\approx18{,}4^\circ\).
4. \(\vec m\cdot\vec n=0\), сондықтан векторлар перпендикуляр, \(\alpha=90^\circ\).

Шешуі

1-тапсырма

Берілгені: \(A(-2;3)\), \(B(4;-1)\).

Вектор координаталары нүктелер координаталарының айырмасы арқылы табылады:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]

\[ \overrightarrow{AB}=(4-(-2);\ -1-3)=(6;-4). \]

Вектордың ұзындығы:

\[ \left|\overrightarrow{AB}\right| =\sqrt{6^2+(-4)^2} =\sqrt{36+16} =\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \]

Тексеру:

\[ (-2;3)+(6;-4)=(4;-1), \]

яғни \(A+\overrightarrow{AB}=B\).

---

2-тапсырма

Берілгені:

\[ \vec a=(2;-5),\qquad \vec b=(-3;4). \]

Векторларға амалдар координаталары бойынша орындалады.

а)

\[ \vec a+\vec b=(2+(-3);\ -5+4)=(-1;-1). \]

ә)

\[ \vec a-\vec b=(2-(-3);\ -5-4)=(5;-9). \]

б)

\[ 3\vec a=(3\cdot2;\ 3\cdot(-5))=(6;-15). \]

---

3-тапсырма

Берілгені:

\[ \vec a=(3;4),\qquad \vec b=(1;3). \]

Скаляр көбейтінді формуласы:

\[ \vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2. \]

\[ \vec a\cdot\vec b=3\cdot1+4\cdot3=3+12=15. \]

Векторлардың ұзындықтары:

\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=5, \]

\[ |\vec b|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}. \]

Бұрышты табу формуласы:

\[ \cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}. \]

\[ \cos\alpha=\frac{15}{5\sqrt{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}. \]

Сондықтан:

\[ \alpha=\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\approx18{,}4^\circ. \]

---

4-тапсырма

Берілгені:

\[ \vec m=(6;0),\qquad \vec n=(0;8). \]

\[ \vec m\cdot\vec n=6\cdot0+0\cdot8=0. \]

Екі нөлден өзгеше вектордың скаляр көбейтіндісі \(0\) болса, олар перпендикуляр болады:

\[ \vec m\perp\vec n. \]

Демек, олардың арасындағы бұрыш:

\[ \alpha=90^\circ. \]