Решить методом интервалов

Краткий ответ: \[ \boxed{x\in\left[-\frac25;\frac12\right)\cup\{2\}} \]

Рассмотрим функцию: \[ y=\sqrt{\frac{(5x+2)(x-2)^2}{1-2x}}. \]

Чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ \frac{(5x+2)(x-2)^2}{1-2x}\ge 0, \qquad 1-2x\ne0. \]

1. Находим критические точки

\[ 5x+2=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac25; \]

\[ (x-2)^2=0\quad\Rightarrow\quad x=2; \]

\[ 1-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac12. \]

Точка \(x=\frac12\) исключается, так как обращает знаменатель в ноль.

2. Метод интервалов

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty;-\frac25)&-\frac25& (-\frac25;\frac12)&\frac12& (\frac12;2)&2&(2;+\infty)\\ \hline \frac{(5x+2)(x-2)^2}{1-2x} &-&0&+&\text{не существует}&-&0&- \end{array} \]

Берём промежутки, где выражение неотрицательно, и точки, в которых оно равно нулю:

\[ \boxed{\left[-\frac25;\frac12\right)\cup\{2\}}. \]

Проверка: при \(x=2\) подкоренное выражение равно \(0\), поэтому точка \(2\) входит в ответ; при \(x=\frac12\) знаменатель равен нулю, поэтому эта точка исключается.